Feuille d'exercicesTerminale, chapitre 10

Loi des grands nombres

43 exercices corrigés · 12 18 5 6

Échantillon d'une variable aléatoire

Exercice 1 Soit X une variable aléatoire d'espérance μ = 12 et de variance σ^2 = 9. Pour chacune des tailles n proposées, on considère un échantillon…
Exercice 2 On lance un dé équilibré à six faces et on note X le numéro obtenu. 1. Déterminer E(X) puis V(X) sous forme de fraction irréductible. 2. On effectue…
Exercice 3 Une urne contient des boules dont 30 % sont rouges. On y effectue 50 tirages avec remise et, pour chaque tirage, on pose X_i = 1 si la boule est…
Exercice 4 Dans chaque cas, (X_1;…;X_n) est un échantillon de taille n de la loi d'une variable aléatoire X d'espérance μ et de variance σ^2. Déterminer la…
Exercice 5 Soit X une variable aléatoire de variance σ^2 = 36, et M_n la moyenne d'un échantillon de taille n de sa loi. 1. Calculer la variance puis…
Exercice 6 La loi de la variable aléatoire X est donnée par le tableau suivant: begin array{|c|c|c|c|c|} hline x_i & 1 & 2 & 3 & 4 hline P(X = x_i) & 0,1 & 0,2…
Exercice 7 Une chaîne de production fabrique des pièces dont la masse, en grammes, est une variable aléatoire X d'espérance 250 et d'écart-type 4. On prélève…

Exercice 8 Soit X une variable aléatoire ne prenant que des valeurs positives, d'espérance E(X) = 6. Majorer, à l'aide de l'inégalité de Markov, les…
Exercice 9 Le temps de trajet T, en minutes, d'un automobiliste pour se rendre à son travail est une variable aléatoire positive d'espérance 25 minutes. 1.…
Exercice 10 Soit X une variable aléatoire positive d'espérance 8. 1. Déterminer le plus petit réel a pour lequel l'inégalité de Markov garantit P(X ≥ a) ≤ 0,05.…
Exercice 11 La variable aléatoire X, à valeurs positives, a pour loi: begin array{|c|c|c|c|c|c|} hline x_i & 0 & 1 & 2 & 5 & 10 hline P(X = x_i) & 0,15 & 0,4 &…
Exercice 12 1. Soit X une variable aléatoire positive d'espérance 5. Que donne l'inégalité de Markov pour le seuil a = 4 ? Cette information est-elle utile ? 2.…
Exercice 13 La température X, en degrés Celsius, relevée un jour donné dans une ville, est une variable aléatoire d'espérance 6. On sait de plus que cette…

Exercice 14 Soit X une variable aléatoire d'espérance μ = 50 et de variance σ^2 = 16. Majorer, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, les probabilités…
Exercice 15 Soit X une variable aléatoire d'espérance 20 et d'écart-type 1,5. 1. Majorer P (|X - 20| ≥ 3). 2. En déduire une minoration de la probabilité que X…
Exercice 16 Soit X une variable aléatoire d'espérance 60 et de variance 9. 1. Déterminer le plus petit réel δ > 0 pour lequel l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev…
Exercice 17 Soit X une variable aléatoire d'espérance μ et d'écart-type σ > 0, et soit k un entier naturel non nul. 1. Démontrer que P (|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1/(k^2).…
Exercice 18 On lance 10 fois une pièce équilibrée et on note X le nombre de « pile » obtenus. 1. Donner la loi de X, puis son espérance et sa variance. 2.…
Exercice 19 La variable aléatoire X prend les valeurs -1, 0 et 1 avec les probabilités respectives 0,1, 0,8 et 0,1. 1. Calculer E(X) et V(X). 2. Calculer la…
Exercice 20 Une machine remplit des sachets dont la masse X, en grammes, a pour espérance 500 et pour variance 4. Un sachet est déclaré conforme lorsque sa…

Exercice 21 Soit M_n la moyenne d'un échantillon de taille n d'une variable aléatoire d'espérance μ et de variance σ^2 = 4. Majorer P (|M_n - μ| ≥ 0,5) pour: 1.…
Exercice 22 Soit X une variable aléatoire d'espérance μ et de variance 9, et M_n la moyenne d'un échantillon de taille n de sa loi. On souhaite que M_n s'écarte…
Exercice 23 On lance n fois un dé équilibré à six faces et on note M_n la moyenne des numéros obtenus. On rappelle que μ = 3,5 et σ^2 = 35/12. 1. Déterminer le…
Exercice 24 Soit X une variable aléatoire d'espérance μ et de variance 1. On veut garantir P (|M_n - μ| ≥ δ) ≤ 0,05. 1. Exprimer la plus petite taille…
Exercice 25 · Type Bac Dans une population, une proportion inconnue p d'individus possède un certain caractère. On interroge n personnes au hasard et, pour la i -ième…
Exercice 26 · Type Bac Une usine produit des tiges métalliques dont la longueur X, en centimètres, est une variable aléatoire d'espérance 20 et d'écart-type 0,5. On…

Exercice 27 Soit X une variable aléatoire d'espérance μ et de variance 5, et M_n la moyenne d'un échantillon de taille n de sa loi. On fixe δ = 0,2. 1. Montrer…
Exercice 28 Soit X une variable aléatoire d'espérance μ et de variance 2, et M_n la moyenne d'un échantillon de taille n de sa loi. 1. Justifier l'encadrement…
Exercice 29 Quatre élèves commentent la loi faible des grands nombres. Pour chacun, dire si son affirmation est correcte et justifier. • Alice: « à partir d'un…
Exercice 30 On lance n fois un dé équilibré à six faces. Pour chaque lancer, on pose X_i = 1 si le résultat est un 6, et X_i = 0 sinon. La variable M_n est…

Exercice 31 · QCM Pour chaque question, une seule réponse est exacte. La recopier sur la copie et la justifier.
Exercice 32 · Vrai ou faux Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Dans tout l'exercice, (X_1;…;X_n) désigne un échantillon de…
Exercice 33 · Type Bac Un jeu se déroule ainsi: le joueur lance un dé équilibré à six faces. S'il obtient un 6, il gagne 5 €; sinon, il perd 1 €. On note X le gain…
Exercice 34 · Type Bac On souhaite obtenir une valeur approchée du nombre π sans jamais le calculer. Pour cela, on choisit au hasard un point dans le carré de sommets…
Exercice 35 Une compagnie d'assurance propose un contrat pour lequel le coût annuel X supporté par la compagnie, en euros, vaut 0 avec la probabilité 0,95 et 4…

Exercice 36 Soit X une variable aléatoire à valeurs dans ℕ, et n la plus grande valeur que prend X. 1. Pour k∈ℕ, justifier la relation P(X=k)=P(X≥ k)-P(X≥ k+1).…
Exercice 37 Soient X une variable aléatoire, n∈ℕ^(), et (X_1;…;X_n) un échantillon de taille n de la loi de X. On note S_n=X_1+…+X_n. 1. Exprimer E(S_n) en…
Exercice 38 Nombre de points fixes d'une permutation. On se donne n boules numérotées de 1 à n, et n urnes également numérotées de 1 à n. On place une boule…
Exercice 39 On considère une assemblée de n personnes, et l'on ignore les années bissextiles. On suppose les dates d'anniversaire des personnes indépendantes,…
Exercice 40 Soit n≥ 2 un entier. Une entreprise suit la stratégie suivante pour recruter ses n employés. L'employé 1 fonde l'entreprise et recrute l'employé 2;…
Exercice 41 Nombre de records d'une permutation. Soit n∈ℕ^(). On range au hasard les entiers 1, 2, …, n dans une liste (σ(1);σ(2);…;σ(n)), les n! rangements…
Exercice 42 Urne d'Ehrenfest. On fixe un entier a≥ 2, et l'on se donne a boules numérotées de 1 à a, réparties dans deux boîtes. À chaque seconde à partir de…
Exercice 43 Marches aléatoires. Soient p∈ ]0;1 [, q=1-p, et X_1, X_2, …, des variables aléatoires indépendantes telles que, pour tout k, P(X_k=1)=p et…