ExerciceTerminale, chapitre 10 — Loi des grands nombres · Loi faible des grands nombres

Exercice 27

DémonstrationCalcul

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de variance $5$ , et $M_{n}$ la moyenne d'un échantillon de taille $n$ de sa loi. On fixe $\delta = 0{,}2$ .

1. Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$ , on a $P\big(|M_{n} - \mu| \geqslant 0{,}2\big) \leqslant \dfrac{125}{n}$ .

2. Calculer ce majorant pour $n = 125$ , $n = 1250$ et $n = 12\,500$ .

3. Déterminer la limite de la suite de terme général $\dfrac{125}{n}$ , puis conclure.

Corrigé

1. L'inégalité de concentration appliquée avec $\sigma^{2} = 5$ et $\delta = 0{,}2$ donne, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $P\big(|M_{n} - \mu| \geqslant 0{,}2\big) \; \leqslant \; \frac{5}{n \times 0{,}2^{2}} = \frac{5}{0{,}04\,n} = \boxed{\dfrac{125}{n}}$

2. On remplace $n$ par chacune des trois valeurs : $n = 125 \;:\; \frac{125}{125} = \boxed{1} \qquad n = 1\,250 \;:\; \frac{125}{1\,250} = \boxed{0{,}1} \qquad n = 12\,500 \;:\; \frac{125}{12\,500} = \boxed{0{,}01}$ Pour $n = 125$ , le majorant vaut $1$ : il n'apporte encore aucune information.

3. La suite de terme général $\dfrac{125}{n}$ est de la forme $\dfrac{C}{n}$ avec $C = 125$ constante, donc : $\lim_{n\to+\infty} \frac{125}{n} = \boxed{0}$ Comme une probabilité est toujours positive, on dispose de l'encadrement $0 \leqslant P\big(|M_{n} - \mu| \geqslant 0{,}2\big) \leqslant \dfrac{125}{n}$ , dont les deux membres extrêmes tendent vers $0$ . $\boxed{\lim_{n\to+\infty} P\big(|M_{n} - \mu| \geqslant 0{,}2\big) = 0}$

Énoncé PDF, p. 7 Corrigé PDF, p. 12 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass

Thèmes

échantillon, moyenne empirique, espérance, variance, inégalité de concentration, loi faible des grands nombres

Notions

indépendance, espérance