Exercice 28

1. L'inégalité de gauche vient de ce qu'une probabilité est toujours positive. Celle de droite est l'inégalité de concentration avec $\sigma^{2} = 2$ et $\delta = 0{,}01$ : $$\frac{\sigma^{2}}{n\delta^{2}} = \frac{2}{n \times 0{,}01^{2}} = \frac{2}{0{,}0001\,n} = \frac{20\,000}{n}$$

2. On rédige la conclusion :

• la suite constante nulle converge vers $0$ ;

• $\lim_{n\to+\infty} \dfrac{20\,000}{n} = 0$, comme quotient d'une constante par une suite tendant vers $+\infty$.

D'après le théorème des gendarmes, établi au chapitre 3 : $$\boxed{\lim_{n\to+\infty} P\big(|M_{n} - \mu| \geqslant 0{,}01\big) = 0}$$

3. Pour un réel $\delta > 0$ quelconque, le même raisonnement donne : $$0 \; \leqslant \; P\big(|M_{n} - \mu| \geqslant \delta\big) \; \leqslant \; \frac{2}{n\delta^{2}}$$ Comme $\delta$ est fixé, la quantité $\dfrac{2}{\delta^{2}}$ est une constante, et le majorant tend encore vers $0$. $$\boxed{\lim_{n\to+\infty} P\big(|M_{n} - \mu| \geqslant \delta\big) = 0 \quad\text{pour tout réel } \delta > 0}$$ C'est exactement l'énoncé de la loi faible des grands nombres. On remarque que $\delta$ doit être choisi avant de faire tendre $n$ vers $+\infty$.