Exercice 29

Alice. $$\boxed{\text{Affirmation fausse.}}$$ Le théorème porte sur une probabilité, pas sur la variable $M_{n}$ elle-même. Rien n'interdit à un échantillon, même très grand, de donner une moyenne éloignée de $\mu$ : cet événement devient seulement de moins en moins probable. Sur la simulation du cours, la courbe finit par ne plus quitter la bande, mais aucun théorème ne garantit qu'elle n'en sortira plus jamais.

Bruno. $$\boxed{\text{Affirmation vraie.}}$$ C'est la traduction correcte de $\lim_{n\to+\infty} P\big(|M_{n} - \mu| \geqslant 0{,}01\big) = 0$ : la probabilité peut être rendue aussi petite que l'on veut pourvu que $n$ soit assez grand. C'est le contenu de la question 2 de l'exercice 28.

Chloé. $$\boxed{\text{Affirmation fausse.}}$$ Le théorème est valable pour tout réel $\delta > 0$, aussi petit soit-il. Simplement, plus $\delta$ est petit, plus il faut prendre $n$ grand pour que le majorant $\dfrac{\sigma^{2}}{n\delta^{2}}$ devienne petit : c'est le prix de la précision chiffré à l'exercice 24.

Dorian. $$\boxed{\text{Affirmation fausse.}}$$ Le raisonnement confond une quantité et son majorant. Savoir que $u_{n} \leqslant v_{n}$ pour tout $n$, avec $(v_{n})$ décroissante, ne dit rien sur le sens de variation de $(u_{n})$. On sait seulement que $P\big(|M_{n} - \mu| \geqslant \delta\big)$ tend vers $0$, pas qu'elle décroît.