Exercice 30

1. La variable $X_{1}$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p = \dfrac{1}{6}$, puisque le dé est équilibré : $$E(X_{1}) = \boxed{\dfrac{1}{6}} \qquad;\qquad V(X_{1}) = \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \boxed{\dfrac{5}{36}}$$

2. L'inégalité de concentration s'écrit, pour tout réel $\delta > 0$ : $$\boxed{P\left(\left|M_{n} - \dfrac{1}{6}\right| \geqslant \delta\right) \; \leqslant \; \dfrac{5}{36\,n\,\delta^{2}}}$$

3. À $\delta$ fixé, le majorant est de la forme $\dfrac{C}{n}$ avec $C = \dfrac{5}{36\delta^{2}}$ constante, donc il tend vers $0$. Le théorème des gendarmes donne alors : $$\boxed{\lim_{n\to+\infty} P\left(\left|M_{n} - \dfrac{1}{6}\right| \geqslant \delta\right) = 0}$$

$$\boxed{\text{La fréquence du } 6 \text{ finit par s'approcher de } \dfrac{1}{6} \text{ au sens des probabilités.}}$$ C'est la conviction évoquée dès la première ligne du chapitre, désormais démontrée.

4. On applique la méthode du cours avec $\delta = 0{,}01$ et $\alpha = 0{,}05$ : $$\frac{5/36}{n \times 0{,}01^{2}} \leqslant 0{,}05 \quad\Longleftrightarrow\quad n \geqslant \frac{5/36}{0{,}05 \times 0{,}0001} = \frac{5/36}{0{,}000005} = \frac{250\,000}{9} \approx 27\,777{,}8$$