ExerciceTerminale, chapitre 10 — Loi des grands nombres · Exercices de synthèse

Exercice 31 QCM

QCMDémonstration

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. La recopier sur la copie et la justifier.

Énoncé	a	b	c
1. $X$ a pour variance $100$ . La variance de $M_{25}$ vaut :	$4$	$2$	$100$
2. $X$ a pour espérance $40$ . Alors $E(S_{10})$ vaut :	$4$	$40$	$400$
3. $X$ est positive d'espérance $3$ . L'inégalité de Markov majore $P(X \geqslant 15)$ par :	$0{,}2$	$5$	$0{,}6$
4. $X$ a pour espérance $10$ et pour variance $4$ . L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore $P\big(\|X-10\| \geqslant 5\big)$ par :	$0{,}8$	$0{,}16$	$0{,}4$
5. Pour diviser par $2$ l'écart-type de $M_{n}$ , il faut multiplier $n$ par :	$2$	$4$	$8$
6. Avec $\sigma^{2} = 12$ , $\delta = 0{,}2$ et $n = 300$ , le majorant de l'inégalité de concentration vaut :	$0{,}2$	$0{,}5$	$1$
7. L'inégalité de Markov s'applique à toute variable aléatoire :	positive	d'espérance nulle	suivant une loi binomiale
8. Pour $\delta > 0$ fixé, la limite de $P\big(\|M_{n}-\mu\| \geqslant \delta\big)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ vaut :	$0$	$\mu$	$\delta$
9. Avec $\sigma^{2} = 1$ et $\delta = 0{,}1$ , la plus petite taille d'échantillon donnant un majorant inférieur ou égal à $0{,}01$ est :	$1\,000$	$10\,000$	$100\,000$
10. $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $0{,}2$ . Alors $V(M_{400})$ vaut :	$0{,}16$	$0{,}0004$	$0{,}04$

Corrigé

Question	Réponse	Justification
1.	a	$V(M_{25}) = \dfrac{\sigma^{2}}{25} = \dfrac{100}{25} = 4$ .
2.	c	$E(S_{10}) = 10\mu = 10 \times 40 = 400$ .
3.	a	$P(X \geqslant 15) \leqslant \dfrac{E(X)}{15} = \dfrac{3}{15} = 0{,}2$ .
4.	b	$P\big(\|X-10\| \geqslant 5\big) \leqslant \dfrac{\sigma^{2}}{5^{2}} = \dfrac{4}{25} = 0{,}16$ .
5.	b	$\sigma(M_{n}) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ : multiplier $n$ par $4$ multiplie $\sqrt{n}$ par $2$ .
6.	c	$\dfrac{\sigma^{2}}{n\delta^{2}} = \dfrac{12}{300 \times 0{,}04} = \dfrac{12}{12} = 1$ : aucune information.
7.	a	La positivité est la seule hypothèse du théorème 1 (voir l'exercice 13).
8.	a	C'est l'énoncé même de la loi faible des grands nombres.
9.	b	$\dfrac{1}{n \times 0{,}01} \leqslant 0{,}01 \Longleftrightarrow n \geqslant 10\,000$ .
10.	b	$V(X) = 0{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}16$ , donc $V(M_{400}) = \dfrac{0{,}16}{400} = 0{,}0004$ .

Piège de la question 10 : la réponse a est la variance de $X$ , pas celle de $M_{400}$  ; il ne faut pas oublier de diviser par $n$ .

Énoncé PDF, p. 8 Corrigé PDF, p. 15 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition

Thèmes

échantillon, somme de variables aléatoires, moyenne empirique, espérance, variance, inégalité de markov, inégalité de bienaymé-tchebychev, inégalité de concentration

Notions

indépendance, espérance, variable aléatoire