ExerciceTerminale, chapitre 10 — Loi des grands nombres · Exercices de synthèse

Exercice 32 Vrai ou faux

Vrai ou faux

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Dans tout l'exercice, $(X_{1}\,;\dots\,;X_{n})$ désigne un échantillon de taille $n$ de la loi d'une variable aléatoire $X$ d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^{2}$ .

1. L'espérance de $M_{n}$ est égale à $\mu$ , quelle que soit la taille de l'échantillon.

2. La variance de $S_{n}$ est égale à $\dfrac{\sigma^{2}}{n}$ .

3. Si l'on multiplie $n$ par $4$ , l'écart-type de $M_{n}$ est divisé par $2$ .

4. L'inégalité de Markov s'applique à toute variable aléatoire d'espérance strictement positive.

5. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev peut fournir un majorant supérieur à $1$ .

6. L'inégalité de concentration affirme que $M_{n}$ finit par être égale à $\mu$ .

7. Quelle que soit la loi de $X$ , on a $P\big(|X - \mu| \geqslant 2\sigma\big) \leqslant 0{,}25$ .

8. La loi faible des grands nombres est un énoncé portant sur la limite d'une suite de probabilités.

9. Augmenter $n$ de $10\,\%$ divise par $10$ le majorant de l'inégalité de concentration.

10. Les variables aléatoires d'un échantillon sont indépendantes et suivent toutes la même loi.

Corrigé

1. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la proposition 1 : $E(M_{n}) = \mu$ , quelle que soit la valeur de $n$ . La moyenne d'un échantillon « vise juste ».

2. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ On a $V(S_{n}) = n\sigma^{2}$ , et c'est la variance de $M_{n}$ qui vaut $\dfrac{\sigma^{2}}{n}$ . La variance de la somme augmente avec $n$ (exercice 7).

3. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ $\sigma(M_{n}) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$  ; remplacer $n$ par $4n$ remplace $\sqrt{n}$ par $2\sqrt{n}$ .

4. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ L'hypothèse est que $X$ ne prend que des valeurs positives. Une variable d'espérance strictement positive peut prendre des valeurs négatives, comme à l'exercice 13.

5. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Dès que $\delta \leqslant \sigma$ , le majorant $\dfrac{\sigma^{2}}{\delta^{2}}$ est supérieur ou égal à $1$ et n'apporte aucune information (exercice 14, question 4).

6. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Elle majore la probabilité d'un écart. Aucun théorème du chapitre n'affirme que $M_{n}$ devient égale à $\mu$ (exercice 29, affirmation d'Alice).

7. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est le cas $k = 2$ de l'exercice 17 : $P\big(|X-\mu| \geqslant 2\sigma\big) \leqslant \dfrac{1}{2^{2}} = 0{,}25$ .

8. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Le théorème 4 affirme que $\lim_{n\to+\infty} P\big(|M_{n} - \mu| \geqslant \delta\big) = 0$ : il s'agit bien de la limite d'une suite de probabilités.

9. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Le majorant $\dfrac{\sigma^{2}}{n\delta^{2}}$ est inversement proportionnel à $n$ : augmenter $n$ de $10\,\%$ divise le majorant par $1{,}1$ seulement.

10. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Ce sont les deux conditions de la définition d'un échantillon.

Énoncé PDF, p. 9 Corrigé PDF, p. 15 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass

Thèmes

échantillon, somme de variables aléatoires, moyenne empirique, espérance, variance, inégalité de markov, inégalité de bienaymé-tchebychev, inégalité de concentration

Notions

indépendance, espérance