ExerciceTerminale, chapitre 10 — Loi des grands nombres · Exercices de synthèse

Exercice 33 Type Bac

Type BacCalcul

Un jeu se déroule ainsi : le joueur lance un dé équilibré à six faces. S'il obtient un $6$ , il gagne $5$ € ; sinon, il perd $1$ €. On note $X$ le gain algébrique, en euros, du joueur à l'issue d'une partie.

Partie A

1. Déterminer la loi de $X$ .

2. Calculer $E(X)$ . Le jeu est-il équitable ?

3. Calculer $V(X)$ .

Partie B

Un joueur enchaîne $100$ parties indépendantes. On note $S_{100}$ son gain total et $M_{100}$ son gain moyen par partie.

1. Calculer $E(S_{100})$ , $V(S_{100})$ , $E(M_{100})$ et $V(M_{100})$ .

2. Majorer $P\big(|M_{100}| \geqslant 0{,}5\big)$ .

3. En déduire une majoration de la probabilité que le gain total du joueur dépasse $50$ € en valeur absolue.

Partie C

1. Déterminer le nombre minimal de parties pour que le gain moyen s'écarte de $0$ de moins de $0{,}1$ €, avec une probabilité d'au moins $0{,}95$ .

2. Que dit la loi faible des grands nombres à propos de ce jeu ? Rédiger la conclusion en une phrase à l'attention d'un joueur qui espère s'enrichir.

Corrigé

Partie A

1. Le joueur gagne $5$ € s'il obtient un $6$ , ce qui a une chance sur six de se produire, et perd $1$ € dans les cinq autres cas :

\begin{array}{|c|c|c|} \hline x_{i} & -1 & 5 \\ \hline P(X = x_{i}) & \dfrac{5}{6} & \dfrac{1}{6} \\ \hline \end{array}

2. On applique la définition de l'espérance : $E(X) = (-1) \times \frac{5}{6} + 5 \times \frac{1}{6} = -\frac{5}{6} + \frac{5}{6} = \boxed{0}$

\boxed{\text{L'espérance de gain est nulle : le jeu est équitable.}}

3. On passe par $E(X^{2})$ : $E(X^{2}) = 1 \times \frac{5}{6} + 25 \times \frac{1}{6} = \frac{5 + 25}{6} = \frac{30}{6} = 5$

V(X) = E(X^{2}) - \big(E(X)\big)^{2} = 5 - 0 = \boxed{5}

Partie B

1. Les $100$ parties étant indépendantes et identiques, elles forment un échantillon de taille $100$ de la loi de $X$ : $\boxed{\begin{array}{l} E(S_{100}) = 100 \times 0 = 0 \quad;\quad V(S_{100}) = 100 \times 5 = 500 \\[1mm] E(M_{100}) = 0 \quad;\quad V(M_{100}) = \dfrac{5}{100} = 0{,}05 \end{array}}$

2. Comme $E(M_{100}) = 0$ , l'inégalité de concentration s'écrit : $P\big(|M_{100} - 0| \geqslant 0{,}5\big) \; \leqslant \; \frac{5}{100 \times 0{,}5^{2}} = \frac{5}{25} = \boxed{0{,}2}$

3. Comme $S_{100} = 100\,M_{100}$ , on a pour tout réel : $|S_{100}| \geqslant 50 \quad\Longleftrightarrow\quad 100\,|M_{100}| \geqslant 50 \quad\Longleftrightarrow\quad |M_{100}| \geqslant 0{,}5$ Les deux événements sont identiques, donc : $\boxed{P\big(|S_{100}| \geqslant 50\big) \; \leqslant \; 0{,}2}$ Après $100$ parties, le joueur a donc au plus une chance sur cinq d'avoir gagné ou perdu $50$ € ou plus.

Partie C

1. On cherche $n$ tel que $P\big(|M_{n}| \geqslant 0{,}1\big) \leqslant 0{,}05$ : $\frac{5}{n \times 0{,}1^{2}} \leqslant 0{,}05 \quad\Longleftrightarrow\quad n \geqslant \frac{5}{0{,}05 \times 0{,}01} = \frac{5}{0{,}0005} = 10\,000$

\boxed{\text{Il faut au moins } 10\,000 \text{ parties.}}

2. La loi faible des grands nombres donne, pour tout $\delta > 0$ : $\lim_{n\to+\infty} P\big(|M_{n} - 0| \geqslant \delta\big) = 0$

$\boxed{\text{Le gain moyen par partie se concentre autour de } 0 \text{ lorsque le nombre de parties augmente.}}$ Conclusion à l'attention du joueur : plus il joue, plus il est probable que son gain moyen soit proche de zéro. Le hasard peut lui être favorable sur quelques parties, mais la répétition ne fait que rendre l'enrichissement de plus en plus improbable.

Énoncé PDF, p. 9 Corrigé PDF, p. 16 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass

Thèmes

somme de variables aléatoires, moyenne empirique, espérance, variance, loi faible des grands nombres, taille d'échantillon, dés et pièces

Notions

espérance