Exercice 34 Type Bac

1. La variable $X$ suit une loi de Bernoulli, dont le paramètre est la probabilité que le point tombe dans le quart de disque. D'après l'énoncé, cette probabilité est l'aire de ce quart de disque, soit $\dfrac{\pi \times 1^{2}}{4}$. Comme le carré est de côté $1$, son aire vaut $1$ et il n'y a pas lieu de diviser : $$E(X) = P(X = 1) = \boxed{\dfrac{\pi}{4}}$$

2. On a établi à l'exercice 25 que $p(1-p) \leqslant \dfrac{1}{4}$ pour tout $p \in [0\,;1]$, l'égalité $\dfrac{1}{4} - p(1-p) = \left(p - \dfrac{1}{2}\right)^{2}$ montrant que la différence est un carré. En appliquant ce résultat à $p = \dfrac{\pi}{4}$, qui appartient bien à $[0\,;1]$ : $$\boxed{V(X) \leqslant \dfrac{1}{4}}$$

3. L'inégalité de concentration appliquée à $M_{n}$, d'espérance $\dfrac{\pi}{4}$ et de variance $\dfrac{V(X)}{n}$, donne : $$P\left(\left|M_{n} - \frac{\pi}{4}\right| \geqslant \delta\right) \; \leqslant \; \frac{V(X)}{n\delta^{2}} \; \leqslant \; \boxed{\dfrac{1}{4n\delta^{2}}}$$

4. Comme $Y_{n} = 4M_{n}$, on a $Y_{n} - \pi = 4\left(M_{n} - \dfrac{\pi}{4}\right)$, donc $|Y_{n} - \pi| = 4\left|M_{n} - \dfrac{\pi}{4}\right|$. Pour tout réel $\varepsilon > 0$ : $$|Y_{n} - \pi| \geqslant \varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad 4\left|M_{n} - \frac{\pi}{4}\right| \geqslant \varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad \left|M_{n} - \frac{\pi}{4}\right| \geqslant \frac{\varepsilon}{4}$$ Les deux événements sont donc identiques et ont la même probabilité. On applique alors la question 3 avec $\delta = \dfrac{\varepsilon}{4}$ : $$P\big(|Y_{n} - \pi| \geqslant \varepsilon\big) \; \leqslant \; \frac{1}{4n\left(\dfrac{\varepsilon}{4}\right)^{2}} = \frac{1}{4n \times \dfrac{\varepsilon^{2}}{16}} = \boxed{\dfrac{4}{n\varepsilon^{2}}}$$

5. On veut $P\big(|Y_{n} - \pi| \geqslant 0{,}01\big) \leqslant 0{,}01$ : $$\frac{4}{n \times 0{,}01^{2}} \leqslant 0{,}01 \quad\Longleftrightarrow\quad n \geqslant \frac{4}{0{,}01 \times 0{,}0001} = \frac{4}{0{,}000001} = 4\,000\,000$$

6. Quatre millions de tirages pour deux décimales de $\pi$ : c'est considérable, alors qu'une décimale supplémentaire coûterait cent fois plus, soit $400$ millions de tirages (exercice 24). $$\boxed{\text{La méthode converge très lentement : elle n'est pas compétitive pour calculer } \pi.}$$ Son intérêt est ailleurs : elle s'applique telle quelle à des aires ou des volumes que l'on ne sait pas calculer, ce qui n'est pas le cas ici. On notera aussi que la majoration obtenue reste une garantie : la précision réellement atteinte est en général bien meilleure, comme le laissait prévoir l'exercice 18.