ExerciceTerminale, chapitre 10 — Loi des grands nombres · Exercices de synthèse

Exercice 35

DémonstrationCalcul

Une compagnie d'assurance propose un contrat pour lequel le coût annuel $X$ supporté par la compagnie, en euros, vaut $0$ avec la probabilité $0{,}95$ et $4\,000$ avec la probabilité $0{,}05$ .

1. Calculer $E(X)$ et $V(X)$ .

2. La compagnie détient $10\,000$ contrats, dont les coûts forment un échantillon de la loi de $X$ . Calculer l'espérance et la variance du coût moyen $M_{10\,000}$ par contrat.

3. La prime annuelle demandée à chaque client est de $250$ €. Montrer que la compagnie est déficitaire lorsque $M_{10\,000}$ dépasse $250$ , puis majorer la probabilité de cet événement.

4. Combien de contrats la compagnie doit-elle détenir pour que cette probabilité soit majorée par $0{,}01$  ?

5. Expliquer, à l'aide de la loi faible des grands nombres, pourquoi une compagnie d'assurance peut prévoir avec précision son coût total sans savoir prévoir le coût d'un contrat particulier.

Corrigé

1. On applique les définitions : $E(X) = 0 \times 0{,}95 + 4\,000 \times 0{,}05 = \boxed{200 \text{ €}}$

E(X^{2}) = 4\,000^{2} \times 0{,}05 = 16\,000\,000 \times 0{,}05 = 800\,000

$V(X) = 800\,000 - 200^{2} = 800\,000 - 40\,000 = \boxed{760\,000}$ L'écart-type vaut $\sqrt{760\,000} \approx 871{,}8$ €, soit bien plus que l'espérance : un contrat isolé est très imprévisible.

2. La proposition 1 donne : $E(M_{10\,000}) = \boxed{200 \text{ €}} \qquad;\qquad V(M_{10\,000}) = \frac{760\,000}{10\,000} = \boxed{76}$ L'écart-type du coût moyen n'est plus que de $\sqrt{76} \approx 8{,}7$ €.

3. La compagnie encaisse $250$ € par contrat et dépense en moyenne $M_{10\,000}$ € par contrat. Elle est donc déficitaire lorsque $M_{10\,000} > 250$ . Comme $250 = 200 + 50$ : $\big(M_{10\,000} > 250\big) \;\text{ est inclus dans }\; \big(|M_{10\,000} - 200| \geqslant 50\big)$ L'inégalité de concentration donne alors : $P\big(|M_{10\,000} - 200| \geqslant 50\big) \; \leqslant \; \frac{760\,000}{10\,000 \times 50^{2}} = \frac{760\,000}{25\,000\,000} = 0{,}0304$

\boxed{P\big(M_{10\,000} > 250\big) \; \leqslant \; 0{,}0304}

Piège : l'inégalité de concentration porte sur un écart en valeur absolue, donc des deux côtés de l'espérance. On majore ici la probabilité d'un déficit par celle, plus grande, d'un écart dans un sens ou dans l'autre.

4. On cherche $n$ tel que le majorant soit inférieur ou égal à $0{,}01$ : $\frac{760\,000}{n \times 50^{2}} \leqslant 0{,}01 \quad\Longleftrightarrow\quad n \geqslant \frac{760\,000}{0{,}01 \times 2\,500} = \frac{760\,000}{25} = 30\,400$

\boxed{\text{Il faut au moins } 30\,400 \text{ contrats.}}

5. Pour un contrat isolé, l'écart-type ( $872$ € environ) dépasse largement l'espérance : la compagnie est incapable de prévoir si un client donné coûtera $0$ ou $4\,000$ €. Mais la loi faible des grands nombres affirme que, pour tout $\delta > 0$ : $\lim_{n\to+\infty} P\big(|M_{n} - 200| \geqslant \delta\big) = 0$

$\boxed{\begin{array}{l} \text{Le coût \emph{moyen} par contrat se concentre autour de } 200 \text{ € lorsque } n \text{ augmente,} \\[1mm] \text{donc le coût \emph{total} } S_{n} = n\,M_{n} \text{ devient prévisible avec une précision relative croissante.} \end{array}}$ C'est le principe même de la mutualisation du risque, cité en fin de chapitre : l'assureur ne prévoit pas les sinistres, il prévoit leur moyenne.

Énoncé PDF, p. 10 Corrigé PDF, p. 18 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass

Thèmes

échantillon, moyenne empirique, espérance, variance, loi faible des grands nombres, taille d'échantillon, modélisation

Notions

indépendance, espérance