Exercice 26 Type Bac

Ici $\mu = 20$ et $\sigma = 0{,}5$, donc $\sigma^{2} = 0{,}25$.

1. La proposition 1 donne : $$E(M_{100}) = \mu = \boxed{20} \qquad;\qquad V(M_{100}) = \frac{0{,}25}{100} = \boxed{0{,}0025}$$

2. On applique l'inégalité de concentration : $$P\big(|M_{100} - 20| \geqslant 0{,}1\big) \; \leqslant \; \frac{0{,}25}{100 \times 0{,}1^{2}} = \frac{0{,}25}{1} = \boxed{0{,}25}$$

3. En passant à l'événement contraire : $$P(19{,}9 < M_{100} < 20{,}1) = 1 - P\big(|M_{100}-20| \geqslant 0{,}1\big) \geqslant 1 - 0{,}25 = \boxed{0{,}75}$$

4. On cherche $n$ tel que le majorant soit inférieur ou égal à $0{,}01$ : $$\frac{0{,}25}{n \times 0{,}01} \leqslant 0{,}01 \quad\Longleftrightarrow\quad n \geqslant \frac{0{,}25}{0{,}01 \times 0{,}01} = \frac{0{,}25}{0{,}0001} = 2\,500$$

5. Si l'écart-type de $X$ est divisé par $5$, il vaut $0{,}1$ et la variance devient $0{,}01$. Avec $n = 100$ : $$P\big(|M_{100} - 20| \geqslant 0{,}1\big) \; \leqslant \; \frac{0{,}01}{100 \times 0{,}01} = \boxed{0{,}01}$$

$$\boxed{\text{Oui : cette solution atteint exactement l'exigence, sans prélever davantage de tiges.}}$$ Les deux leviers sont donc équivalents ici : augmenter $n$ ou réduire $\sigma^{2}$ agissent de la même façon sur le majorant $\dfrac{\sigma^{2}}{n\delta^{2}}$.