Exercice 25 Type Bac

1. La variable $X_{1}$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ : $$E(X_{1}) = \boxed{p} \qquad\text{et}\qquad V(X_{1}) = \boxed{p(1-p)}$$

2. On étudie le signe de la différence : $$\frac{1}{4} - p(1-p) = \frac{1}{4} - p + p^{2} = \left(p - \frac{1}{2}\right)^{2}$$ Un carré étant toujours positif, on obtient $\dfrac{1}{4} - p(1-p) \geqslant 0$, c'est-à-dire : $$\boxed{p(1-p) \leqslant \dfrac{1}{4} \quad\text{pour tout } p \in [0\,;1]}$$

3. L'inégalité de concentration appliquée à $M_{n}$, dont l'espérance vaut $p$ et la variance $\dfrac{p(1-p)}{n}$, donne : $$P\big(|M_{n} - p| \geqslant \delta\big) \; \leqslant \; \frac{p(1-p)}{n\delta^{2}}$$ Or $p(1-p) \leqslant \dfrac{1}{4}$ d'après la question 2, et $n\delta^{2} > 0$ : $$\boxed{P\big(|M_{n} - p| \geqslant \delta\big) \; \leqslant \; \dfrac{1}{4n\delta^{2}}}$$

4. « Moins de $3$ points de pourcentage » signifie $\delta = 0{,}03$, et « avec une probabilité d'au moins $0{,}95$ » signifie $\alpha = 0{,}05$ : $$\frac{1}{4n \times 0{,}03^{2}} \leqslant 0{,}05 \quad\Longleftrightarrow\quad n \geqslant \frac{1}{4 \times 0{,}05 \times 0{,}0009} = \frac{1}{0{,}00018} \approx 5\,555{,}6$$

5. Le majorant $\dfrac{1}{4n\delta^{2}}$ ne contient plus $p$. $$\boxed{\text{La réponse ne dépend pas de } p, \text{ qui est pourtant la quantité inconnue que l'on cherche.}}$$ C'est tout l'intérêt de la majoration de la question 2 : sans elle, il faudrait connaître $p$ pour calculer la taille de l'échantillon permettant d'estimer $p$.