Exercice 24

1. L'exigence s'écrit : $$\frac{1}{n\delta^{2}} \leqslant 0{,}05 \quad\Longleftrightarrow\quad n \geqslant \frac{1}{0{,}05 \times \delta^{2}} \qquad\text{donc}\qquad \boxed{n = \dfrac{20}{\delta^{2}}}$$ (le plus petit entier supérieur ou égal à cette quantité).

2. On applique la formule précédente : $$\delta = 1 \;:\; n = \frac{20}{1} = \boxed{20} \qquad \delta = 0{,}1 \;:\; n = \frac{20}{0{,}01} = \boxed{2\,000} \qquad \delta = 0{,}01 \;:\; n = \frac{20}{0{,}0001} = \boxed{200\,000}$$

3. On constate que la taille est multipliée par $100$ à chaque fois. Démontrons-le : en remplaçant $\delta$ par $\dfrac{\delta}{10}$, la taille devient $$\frac{20}{\left(\dfrac{\delta}{10}\right)^{2}} = \frac{20}{\dfrac{\delta^{2}}{100}} = 100 \times \frac{20}{\delta^{2}}$$

$$\boxed{\text{Diviser } \delta \text{ par } 10 \text{ multiplie la taille de l'échantillon par } 100. }$$ C'est le prix de la précision, déjà signalé dans le cours. On en verra une conséquence spectaculaire à l'exercice 34.