ExerciceTerminale, chapitre 10 — Loi des grands nombres · Inégalité de concentration

Exercice 23

Calcul

On lance $n$ fois un dé équilibré à six faces et on note $M_{n}$ la moyenne des numéros obtenus. On rappelle que $\mu = 3{,}5$ et $\sigma^{2} = \dfrac{35}{12}$ .

1. Déterminer le nombre minimal de lancers pour que $M_{n}$ s'écarte de $3{,}5$ de moins de $0{,}05$ , avec une probabilité d'au moins $0{,}98$ .

2. Le cours établit qu'il suffit de $5834$ lancers pour un écart inférieur à $0{,}1$ avec une probabilité d'au moins $0{,}95$ . Expliquer, sans nouveau calcul, pourquoi le nombre trouvé à la question précédente est bien plus grand.

Corrigé

1. On a $\sigma^{2} = \dfrac{35}{12}$ , $\delta = 0{,}05$ et $\alpha = 1 - 0{,}98 = 0{,}02$ . On applique la méthode du cours : $\frac{35/12}{n \times 0{,}05^{2}} \leqslant 0{,}02 \quad\Longleftrightarrow\quad n \geqslant \frac{35/12}{0{,}02 \times 0{,}0025} = \frac{35/12}{0{,}00005} = \frac{175\,000}{3} \approx 58\,333{,}3$

\boxed{\text{Il faut au moins } 58\,334 \text{ lancers.}}

Piège : il faut prendre l'entier immédiatement supérieur. Avec $58\,333$ lancers, le majorant dépasserait encore $0{,}02$ .

2. Deux exigences ont été renforcées par rapport au cours :

• le seuil $\delta$ est passé de $0{,}1$ à $0{,}05$ , donc a été divisé par $2$  ; comme $\delta$ intervient au carré au dénominateur, cela multiplie $n$ par $4$  ;

• le risque $\alpha$ est passé de $0{,}05$ à $0{,}02$ , donc a été divisé par $2{,}5$ , ce qui multiplie $n$ par $2{,}5$ .

\boxed{\text{Au total } n \text{ est multiplié par } 4 \times 2{,}5 = 10 \text{ : on retrouve bien } 5\,834 \times 10 \approx 58\,334.}

Énoncé PDF, p. 6 Corrigé PDF, p. 10 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espérance, variance et inégalités

Thèmes

moyenne empirique, variance, taille d'échantillon, dés et pièces