ExerciceTerminale, chapitre 10 — Loi des grands nombres · Inégalité de concentration

Exercice 22

Calcul

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de variance $9$ , et $M_{n}$ la moyenne d'un échantillon de taille $n$ de sa loi. On souhaite que $M_{n}$ s'écarte de $\mu$ de moins de $0{,}3$ avec une probabilité d'au moins $0{,}95$ .

1. Traduire cette exigence par une inégalité portant sur $n$ .

2. Déterminer la plus petite taille d'échantillon convenable.

3. Vérifier le résultat en calculant le majorant obtenu pour cette valeur de $n$ .

Corrigé

1. « S'écarter de moins de $0{,}3$ avec une probabilité d'au moins $0{,}95$  » revient à demander que l'événement contraire ait une probabilité d'au plus $\alpha = 0{,}05$ . Il suffit donc que le majorant de l'inégalité de concentration soit inférieur ou égal à $0{,}05$ : $\boxed{\dfrac{9}{n \times 0{,}3^{2}} \; \leqslant \; 0{,}05}$

2. On isole $n$ : $\frac{9}{0{,}09\,n} \leqslant 0{,}05 \quad\Longleftrightarrow\quad n \geqslant \frac{9}{0{,}05 \times 0{,}09} = \frac{9}{0{,}0045} = 2\,000$

\boxed{\text{La plus petite taille convenable est } n = 2\,000.}

3. Vérification : $\frac{9}{2\,000 \times 0{,}09} = \frac{9}{180} = \boxed{0{,}05}$ L'exigence est donc satisfaite, et de justesse : c'est bien le plus petit entier convenable.

Énoncé PDF, p. 6 Corrigé PDF, p. 10 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités

Thèmes

échantillon, moyenne empirique, espérance, variance, taille d'échantillon

Notions

indépendance, espérance