ExerciceTerminale, chapitre 10 — Loi des grands nombres · Inégalité de concentration

Exercice 21

Calcul

Soit $M_{n}$ la moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^{2} = 4$ . Majorer $P\big(|M_{n} - \mu| \geqslant 0{,}5\big)$ pour :

1. $n = 100$

2. $n = 400$

3. $n = 1600$

Quelle taille d'échantillon faudrait-il pour que ce majorant soit divisé encore par $4$  ?

Corrigé

L'inégalité de concentration s'écrit ici $P\big(|M_{n} - \mu| \geqslant 0{,}5\big) \leqslant \dfrac{4}{n \times 0{,}5^{2}} = \dfrac{4}{0{,}25\,n} = \dfrac{16}{n}$ .

\textbf{1.}\quad n = 100 \;:\; \frac{16}{100} = \boxed{0{,}16} \qquad \textbf{2.}\quad n = 400 \;:\; \frac{16}{400} = \boxed{0{,}04} \qquad \textbf{3.}\quad n = 1600 \;:\; \frac{16}{1600} = \boxed{0{,}01}

On constate que multiplier $n$ par $4$ divise le majorant par $4$ . Pour le diviser encore par $4$ à partir de $n = 1600$ : $\boxed{\text{Il faudrait } n = 6\,400.}$

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Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass

Thèmes

échantillon, moyenne empirique, espérance, variance, inégalité de concentration, taille d'échantillon

Notions

indépendance, espérance