ExerciceTerminale, chapitre 10 — Loi des grands nombres · Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Exercice 20

Calcul

Une machine remplit des sachets dont la masse $X$ , en grammes, a pour espérance $500$ et pour variance $4$ . Un sachet est déclaré conforme lorsque sa masse appartient à l'intervalle $]494\,;506[$ .

1. Minorer la probabilité qu'un sachet prélevé au hasard soit conforme.

2. Le fabricant souhaite un intervalle $]500 - \delta\,;500 + \delta[$ contenant la masse d'un sachet avec une probabilité d'au moins $0{,}99$ . Déterminer la plus petite valeur de $\delta$ que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet de garantir.

3. Commenter la largeur de l'intervalle obtenu.

Corrigé

1. Un sachet est conforme lorsque $|X - 500| < 6$ . On majore d'abord l'événement contraire : $P\big(|X - 500| \geqslant 6\big) \; \leqslant \; \frac{4}{6^{2}} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

P(494 < X < 506) = 1 - P\big(|X-500| \geqslant 6\big) \geqslant 1 - \frac{1}{9} = \boxed{\dfrac{8}{9} \approx 0{,}889}

\boxed{\text{Au moins } 88{,}9\,\% \text{ des sachets sont conformes.}}

2. On veut $P\big(|X - 500| \geqslant \delta\big) \leqslant 0{,}01$ : $\frac{4}{\delta^{2}} \leqslant 0{,}01 \quad\Longleftrightarrow\quad \delta^{2} \geqslant 400 \quad\Longleftrightarrow\quad \delta \geqslant 20$

\boxed{\delta = 20, \text{ soit l'intervalle } ]480\,;520[.}

3. L'intervalle obtenu a une demi-largeur de $20$ grammes, soit dix écarts-types, alors que l'écart-type de $X$ ne vaut que $\sqrt{4} = 2$ grammes. $\boxed{\text{L'intervalle est très large : c'est le prix d'une garantie valable pour \emph{toute} loi.}}$ Si l'on connaissait la loi de $X$ , on pourrait obtenir un intervalle bien plus resserré pour la même exigence.

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Dans l'édifice

Espérance, variance et inégalités

Thèmes

espérance, variance, inégalité de bienaymé-tchebychev, modélisation

Notions

espérance