ExerciceTerminale, chapitre 10 — Loi des grands nombres · Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Exercice 19

DémonstrationCalcul

La variable aléatoire $X$ prend les valeurs $-1$ , $0$ et $1$ avec les probabilités respectives $0{,}1$ , $0{,}8$ et $0{,}1$ .

1. Calculer $E(X)$ et $V(X)$ .

2. Calculer la valeur exacte de $P\big(|X| \geqslant 1\big)$ .

3. Majorer cette probabilité par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée avec $\delta = 1$ . Que constate-t-on ?

4. Cet exemple permet-il d'améliorer l'inégalité du cours en remplaçant $\dfrac{\sigma^{2}}{\delta^{2}}$ par une quantité plus petite ? Justifier.

Corrigé

1. On applique les définitions : $E(X) = (-1) \times 0{,}1 + 0 \times 0{,}8 + 1 \times 0{,}1 = \boxed{0}$

E(X^{2}) = 1 \times 0{,}1 + 0 \times 0{,}8 + 1 \times 0{,}1 = 0{,}2 \qquad\text{donc}\qquad V(X) = 0{,}2 - 0^{2} = \boxed{0{,}2}

2. L'événement $\big(|X| \geqslant 1\big)$ est réalisé pour $X = -1$ et pour $X = 1$ : $P\big(|X| \geqslant 1\big) = 0{,}1 + 0{,}1 = \boxed{0{,}2}$

3. Comme $\mu = 0$ , l'inégalité avec $\delta = 1$ s'écrit : $P\big(|X - 0| \geqslant 1\big) \; \leqslant \; \frac{0{,}2}{1^{2}} = \boxed{0{,}2}$

\boxed{\text{Le majorant est exactement égal à la valeur exacte : l'inégalité est une égalité.}}

4. Supposons qu'il existe une quantité $c < \dfrac{\sigma^{2}}{\delta^{2}}$ majorant toujours $P\big(|X-\mu| \geqslant \delta\big)$ . Appliquée à la variable de cet exercice avec $\delta = 1$ , elle donnerait $0{,}2 \leqslant c < 0{,}2$ , ce qui est impossible. $\boxed{\text{Non : le majorant } \dfrac{\sigma^{2}}{\delta^{2}} \text{ ne peut pas être amélioré dans le cas général.}}$ Cela n'empêche pas la majoration d'être très grossière pour une loi particulière, comme on l'a vu à l'exercice 18 avec la loi binomiale.

Énoncé PDF, p. 5 Corrigé PDF, p. 9 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espérance, variance et inégalités

Thèmes

espérance, variance, inégalité de bienaymé-tchebychev

Notions

espérance