Exercice 18

1. On répète $10$ fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli dont le succès « obtenir pile » a pour probabilité $0{,}5$ : $$\boxed{X \text{ suit la loi binomiale } \mathcal{B}(10\,;0{,}5).}$$

2. On applique l'inégalité avec $\delta = 3$ : $$P\big(|X - 5| \geqslant 3\big) \; \leqslant \; \frac{2{,}5}{3^{2}} = \frac{2{,}5}{9} = \frac{5}{18} \approx \boxed{0{,}278}$$

3. Comme $X$ prend des valeurs entières : $$|X - 5| \geqslant 3 \quad\Longleftrightarrow\quad X - 5 \leqslant -3 \;\text{ ou }\; X - 5 \geqslant 3 \quad\Longleftrightarrow\quad X \leqslant 2 \;\text{ ou }\; X \geqslant 8$$ Ces deux événements sont incompatibles, donc leurs probabilités s'ajoutent. Par symétrie de la loi $\mathcal{B}(10\,;0{,}5)$, ils ont de plus la même probabilité : $$P(X \leqslant 2) = \frac{\binom{10}{0} + \binom{10}{1} + \binom{10}{2}}{2^{10}} = \frac{1 + 10 + 45}{1\,024} = \frac{56}{1\,024} = \frac{7}{128}$$

4. La valeur exacte vaut environ $0{,}109$, le majorant environ $0{,}278$ : le majorant est plus de deux fois trop grand. $$\boxed{\text{La majoration est correcte mais grossière : elle n'utilise que } \mu \text{ et } \sigma^{2}, \text{ pas la loi de } X.}$$