Exercice 17

1. On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta = k\sigma$, qui est bien un réel strictement positif puisque $k \geqslant 1$ et $\sigma > 0$ : $$P\big(|X - \mu| \geqslant k\sigma\big) \; \leqslant \; \frac{\sigma^{2}}{(k\sigma)^{2}} = \frac{\sigma^{2}}{k^{2}\sigma^{2}} = \boxed{\dfrac{1}{k^{2}}}$$ On remarque que le résultat ne dépend ni de $\sigma$, ni de la loi de $X$.

2. Le minorant de $P\big(|X-\mu| < k\sigma\big)$ s'obtient en passant à l'événement contraire, donc vaut $1 - \dfrac{1}{k^{2}}$ :

3. La colonne $k = 2$ donne directement la réponse : $$\boxed{\text{Au moins } 75\,\% \text{ des valeurs se situent à moins de deux écarts-types de l'espérance.}}$$

4. Pour $k = 1$, le majorant vaut $\dfrac{1}{1^{2}} = 1$. $$\boxed{\text{Le majorant vaut } 1 \text{ : aucune information, comme à la question 4 de l'exercice 14.}}$$