ExerciceTerminale, chapitre 10 — Loi des grands nombres · Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Exercice 16

Calcul

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $60$ et de variance $9$ .

1. Déterminer le plus petit réel $\delta > 0$ pour lequel l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev garantit $P\big(|X - 60| \geqslant \delta\big) \leqslant 0{,}04$ .

2. Même question avec la majoration $0{,}01$ , puis donner l'intervalle correspondant.

3. Que devient ce seuil $\delta$ si l'on divise par $4$ la variance de $X$ , l'exigence $0{,}01$ étant maintenue ?

Corrigé

1. L'inégalité donne $P\big(|X - 60| \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{9}{\delta^{2}}$ . On cherche $\delta > 0$ tel que : $\frac{9}{\delta^{2}} \leqslant 0{,}04 \quad\Longleftrightarrow\quad \delta^{2} \geqslant \frac{9}{0{,}04} = 225 \quad\Longleftrightarrow\quad \delta \geqslant 15$

\boxed{\text{Le plus petit seuil convenable est } \delta = 15.}

2. On procède de la même manière : $\frac{9}{\delta^{2}} \leqslant 0{,}01 \quad\Longleftrightarrow\quad \delta^{2} \geqslant 900 \quad\Longleftrightarrow\quad \delta \geqslant 30$

\boxed{\delta = 30, \text{ ce qui correspond à l'intervalle } ]30\,;90[.}

3. Si la variance est divisée par $4$ , elle vaut $\dfrac{9}{4} = 2{,}25$ et l'exigence devient : $\frac{2{,}25}{\delta^{2}} \leqslant 0{,}01 \quad\Longleftrightarrow\quad \delta^{2} \geqslant 225 \quad\Longleftrightarrow\quad \delta \geqslant 15$

$\boxed{\text{Le seuil passe de } 30 \text{ à } 15 \text{ : il est divisé par } 2.}$ Diviser la variance par $4$ divise l'écart-type par $2$ , et le seuil suit l'écart-type : c'est ce que confirme l'exercice 17.

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Dans l'édifice

Espérance, variance et inégalités

Thèmes

espérance, variance, inégalité de bienaymé-tchebychev

Notions

espérance