Exercice 15

L'écart-type vaut $1{,}5$, donc $\sigma^{2} = 1{,}5^{2} = 2{,}25$.

1. On applique l'inégalité avec $\delta = 3$ : $$P\big(|X - 20| \geqslant 3\big) \leqslant \frac{2{,}25}{3^{2}} = \frac{2{,}25}{9} = \boxed{0{,}25}$$

2. Les événements $\big(|X - 20| \geqslant 3\big)$ et $\big(|X - 20| < 3\big)$ sont contraires l'un de l'autre, et : $$|X - 20| < 3 \quad\Longleftrightarrow\quad -3 < X - 20 < 3 \quad\Longleftrightarrow\quad 17 < X < 23$$ Donc : $$P(17 < X < 23) = 1 - P\big(|X-20| \geqslant 3\big) \geqslant 1 - 0{,}25 = \boxed{0{,}75}$$

Piège : en passant à l'événement contraire, l'inégalité change de sens. On minore désormais, alors qu'on majorait à la question 1.

3. On procède de la même manière avec $\delta = 5$ : $$P\big(|X - 20| \geqslant 5\big) \leqslant \frac{2{,}25}{25} = \boxed{0{,}09} \qquad\text{puis}\qquad P(15 < X < 25) \geqslant 1 - 0{,}09 = \boxed{0{,}91}$$