ExerciceTerminale, chapitre 10 — Loi des grands nombres · Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Exercice 14

Calcul

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu = 50$ et de variance $\sigma^{2} = 16$ . Majorer, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, les probabilités suivantes :

1. $P\big(|X - 50| \geqslant 8\big)$

2. $P\big(|X - 50| \geqslant 10\big)$

3. $P\big(|X - 50| \geqslant 20\big)$

4. $P\big(|X - 50| \geqslant 4\big)$

Préciser celle de ces quatre majorations qui n'apporte aucune information.

Corrigé

Ici $\mu = 50$ et $\sigma^{2} = 16$ , donc l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'écrit $P\big(|X - 50| \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{16}{\delta^{2}}$ .

\textbf{1.}\quad P\big(|X-50| \geqslant 8\big) \leqslant \frac{16}{8^{2}} = \frac{16}{64} = \boxed{0{,}25} \qquad \textbf{2.}\quad P\big(|X-50| \geqslant 10\big) \leqslant \frac{16}{100} = \boxed{0{,}16}

\textbf{3.}\quad P\big(|X-50| \geqslant 20\big) \leqslant \frac{16}{400} = \boxed{0{,}04} \qquad \textbf{4.}\quad P\big(|X-50| \geqslant 4\big) \leqslant \frac{16}{16} = \boxed{1}

$\boxed{\text{La quatrième majoration n'apporte aucune information, puisque toute probabilité est} \leqslant 1.}$ C'est le cas $\delta \leqslant \sigma$ , analogue pour Bienaymé-Tchebychev du cas $a \leqslant \mu$ rencontré à l'exercice 12 pour Markov.

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Espérance, variance et inégalités

Thèmes

espérance, variance, inégalité de bienaymé-tchebychev

Notions

espérance