Exercice 13

1. L'inégalité de Markov exige que la variable ne prenne que des valeurs positives. Or une température peut être négative, et l'énoncé indique seulement $X > -20$. $$\boxed{\text{L'hypothèse de positivité n'est pas vérifiée : l'inégalité ne s'applique pas à } X.}$$

2. Comme $X > -20$, on a $X + 20 > 0$, donc $Y = X + 20$ est bien une variable aléatoire positive. Par linéarité de l'espérance : $$E(Y) = E(X) + 20 = 6 + 20 = \boxed{26}$$

3. Pour tout réel $x$ : $$x \geqslant 12 \quad\Longleftrightarrow\quad x + 20 \geqslant 32$$ Les événements $(X \geqslant 12)$ et $(Y \geqslant 32)$ sont donc réalisés exactement dans les mêmes cas : ils sont identiques, et ont la même probabilité. L'inégalité de Markov s'applique à $Y$ : $$P(X \geqslant 12) = P(Y \geqslant 32) \leqslant \frac{E(Y)}{32} = \frac{26}{32} = \boxed{0{,}8125}$$

4. L'élève annonçait $0{,}5$, alors que la seule majoration légitime est $0{,}8125$. $$\boxed{\text{La majoration de l'élève est bien plus forte que ce que l'on peut garantir : elle est infondée.}}$$ On retient la méthode : lorsqu'une variable est minorée par un réel $m$, on applique l'inégalité de Markov à $X - m$, qui est positive.