Exercice 12

1. L'inégalité de Markov donne : $$P(X \geqslant 4) \leqslant \frac{5}{4} = 1{,}25$$

$$\boxed{\text{Le majorant dépasse } 1 \text{ : l'information est vraie, mais inutile.}}$$ En effet, toute probabilité est déjà inférieure ou égale à $1$.

2. Soit $a$ un réel tel que $0 < a \leqslant \mu$. En divisant les deux membres de $a \leqslant \mu$ par $a$, qui est strictement positif, on obtient : $$1 \leqslant \frac{\mu}{a}$$ Le majorant fourni par l'inégalité de Markov est donc supérieur ou égal à $1$. $$\boxed{\text{Si } a \leqslant \mu, \text{ l'inégalité de Markov n'apporte jamais d'information.}}$$ Autrement dit, cette inégalité n'est utile que pour des seuils strictement supérieurs à l'espérance.

3. La variable $X$ est positive (elle prend ses valeurs dans $[0\,;20]$) et $E(X) = 11$, donc : $$P(X \geqslant 12) \leqslant \frac{11}{12} \approx 0{,}917$$

$$\boxed{\text{L'affirmation est fausse : Markov ne garantit que } 91{,}7\,\%, \text{ pas } 50\,\%.}$$ Le candidat a sans doute confondu « espérance » et « médiane ». Rien, dans les données, ne permet d'affirmer qu'au plus la moitié des candidats ont obtenu au moins $12$.