ExerciceTerminale, chapitre 10 — Loi des grands nombres · Inégalité de Markov

Exercice 11

Calcul

La variable aléatoire $X$ , à valeurs positives, a pour loi :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x_{i} & 0 & 1 & 2 & 5 & 10 \\ \hline P(X = x_{i}) & 0{,}15 & 0{,}4 & 0{,}3 & 0{,}1 & 0{,}05 \\ \hline \end{array}

1. Vérifier que $E(X) = 2$ .

2. Calculer les valeurs exactes de $P(X \geqslant 5)$ , $P(X \geqslant 10)$ et $P(X \geqslant 2)$ .

3. Majorer ces trois probabilités par l'inégalité de Markov.

4. Comparer les résultats des deux questions précédentes, et préciser le cas où la majoration n'apporte aucune information.

Corrigé

1. On applique la définition de l'espérance : $E(X) = 0 \times 0{,}15 + 1 \times 0{,}4 + 2 \times 0{,}3 + 5 \times 0{,}1 + 10 \times 0{,}05 = 0 + 0{,}4 + 0{,}6 + 0{,}5 + 0{,}5 = \boxed{2}$

2. On additionne les probabilités des valeurs concernées : $P(X \geqslant 5) = 0{,}1 + 0{,}05 = \boxed{0{,}15} \qquad P(X \geqslant 10) = \boxed{0{,}05}$

P(X \geqslant 2) = 0{,}3 + 0{,}1 + 0{,}05 = \boxed{0{,}45}

3. L'inégalité de Markov donne $P(X \geqslant a) \leqslant \dfrac{2}{a}$ : $P(X \geqslant 5) \leqslant \frac{2}{5} = \boxed{0{,}4} \qquad P(X \geqslant 10) \leqslant \frac{2}{10} = \boxed{0{,}2} \qquad P(X \geqslant 2) \leqslant \frac{2}{2} = \boxed{1}$

4. On rassemble les résultats :

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & P(X \geqslant 5) & P(X \geqslant 10) & P(X \geqslant 2) \\ \hline \text{valeur exacte} & 0{,}15 & 0{,}05 & 0{,}45 \\ \hline \text{majorant de Markov} & 0{,}4 & 0{,}2 & 1 \\ \hline \end{array}

Le majorant est à chaque fois nettement supérieur à la valeur exacte : c'est le prix de la généralité de l'inégalité, qui ne suppose rien sur la loi de $X$ hormis sa positivité. $\boxed{\text{Pour } a = 2, \text{ le majorant vaut } 1 \text{ : il n'apporte aucune information, car toute probabilité est} \leqslant 1.}$ Ce cas est étudié en toute généralité à l'exercice 12.

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Espérance, variance et inégalités

Thèmes

espérance, inégalité de markov

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