Exercice 10

1. L'inégalité de Markov donne $P(X \geqslant a) \leqslant \dfrac{8}{a}$. Pour que cette majoration garantisse $0{,}05$, il suffit que : $$\frac{8}{a} \leqslant 0{,}05 \quad\Longleftrightarrow\quad a \geqslant \frac{8}{0{,}05} = 160$$

2. On procède de la même manière : $$\frac{8}{a} \leqslant 0{,}01 \quad\Longleftrightarrow\quad a \geqslant \frac{8}{0{,}01} = 800 \qquad\text{donc}\qquad \boxed{a = 800}$$

3. Dans le cas général, avec $\alpha \in\; ]0\,;1]$ : $$\frac{E(X)}{a} \leqslant \alpha \quad\Longleftrightarrow\quad a \geqslant \frac{E(X)}{\alpha} \qquad\text{donc}\qquad \boxed{a = \dfrac{E(X)}{\alpha}}$$ Diviser $\alpha$ par $10$ multiplie donc le seuil par $10$ : on retrouve le passage de $160$ à $800$ entre les questions 1 et 2 lorsque $\alpha$ passe de $0{,}05$ à $0{,}01$.