ExerciceTerminale, chapitre 10 — Loi des grands nombres · Inégalité de Markov

Exercice 9

Calcul

Le temps de trajet $T$ , en minutes, d'un automobiliste pour se rendre à son travail est une variable aléatoire positive d'espérance $25$ minutes.

1. Majorer la probabilité que le trajet dure au moins $50$ minutes, puis au moins $75$ minutes, puis au moins $100$ minutes.

2. L'automobiliste affirme : « je mets au moins une heure et quart dans plus d'un jour sur trois ». Ce propos est-il compatible avec la majoration obtenue ?

Corrigé

1. La variable $T$ est positive et $E(T) = 25$ : $P(T \geqslant 50) \leqslant \frac{25}{50} = \boxed{0{,}5} \qquad P(T \geqslant 75) \leqslant \frac{25}{75} = \boxed{\dfrac{1}{3} \approx 0{,}333} \qquad P(T \geqslant 100) \leqslant \frac{25}{100} = \boxed{0{,}25}$

2. Une heure et quart représente $75$ minutes, et « plus d'un jour sur trois » signifie $P(T \geqslant 75) > \dfrac{1}{3}$ . Or l'inégalité de Markov garantit $P(T \geqslant 75) \leqslant \dfrac{1}{3}$ . $\boxed{\text{Le propos est incompatible avec la majoration : l'automobiliste exagère.}}$

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Espérance, variance et inégalités

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