ExerciceTerminale, chapitre 10 — Loi des grands nombres · Inégalité de Markov

Exercice 8

Calcul

Soit $X$ une variable aléatoire ne prenant que des valeurs positives, d'espérance $E(X) = 6$ . Majorer, à l'aide de l'inégalité de Markov, les probabilités suivantes :

1. $P(X \geqslant 8)$

2. $P(X \geqslant 12)$

3. $P(X \geqslant 30)$

4. $P(X \geqslant 60)$

5. $P(X \geqslant 100)$

Corrigé

La variable $X$ est positive et $E(X) = 6$ : l'inégalité de Markov s'applique et donne $P(X \geqslant a) \leqslant \dfrac{6}{a}$ .

\textbf{1.}\quad P(X \geqslant 8) \leqslant \frac{6}{8} = \boxed{0{,}75} \qquad\qquad \textbf{2.}\quad P(X \geqslant 12) \leqslant \frac{6}{12} = \boxed{0{,}5}

\textbf{3.}\quad P(X \geqslant 30) \leqslant \frac{6}{30} = \boxed{0{,}2} \qquad\qquad \textbf{4.}\quad P(X \geqslant 60) \leqslant \frac{6}{60} = \boxed{0{,}1}

\textbf{5.}\quad P(X \geqslant 100) \leqslant \frac{6}{100} = \boxed{0{,}06}

On constate que la majoration est d'autant meilleure que le seuil est éloigné de l'espérance.

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Espérance, variance et inégalités

Thèmes

espérance, inégalité de markov

Notions

espérance