ExerciceTerminale, chapitre 10 — Loi des grands nombres · Échantillon d'une variable aléatoire

Exercice 7

Calcul

Une chaîne de production fabrique des pièces dont la masse, en grammes, est une variable aléatoire $X$ d'espérance $250$ et d'écart-type $4$ . On prélève au hasard $64$ pièces, dont les masses forment un échantillon de la loi de $X$ .

1. Calculer l'espérance et l'écart-type de la masse totale $S_{64}$ des $64$ pièces.

2. Calculer l'espérance et l'écart-type de la masse moyenne $M_{64}$ .

3. Comparer les deux écarts-types obtenus et commenter.

Corrigé

Ici $\mu = 250$ et $\sigma = 4$ , donc $\sigma^{2} = 16$ , et $n = 64$ .

1. On additionne les masses des $64$ pièces : $E(S_{64}) = 64 \times 250 = \boxed{16\,000 \text{ g}}$

V(S_{64}) = 64 \times 16 = 1\,024 \qquad\text{donc}\qquad \sigma(S_{64}) = \sqrt{1\,024} = \boxed{32 \text{ g}}

2. La masse moyenne se déduit de la proposition 1 : $E(M_{64}) = \boxed{250 \text{ g}}$

V(M_{64}) = \frac{16}{64} = 0{,}25 \qquad\text{donc}\qquad \sigma(M_{64}) = \sqrt{0{,}25} = \boxed{0{,}5 \text{ g}}

3. L'écart-type de la masse totale ( $32$ g) est bien plus grand que celui d'une seule pièce ( $4$ g), alors que celui de la masse moyenne ( $0{,}5$ g) est bien plus petit. $\boxed{\begin{array}{l} \text{En additionnant, les fluctuations s'accumulent : } \sigma(S_{n}) = \sigma\sqrt{n} \text{ augmente.} \\[1mm] \text{En moyennant, elles se compensent : } \sigma(M_{n}) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \text{ diminue.} \end{array}}$

Énoncé PDF, p. 2 Corrigé PDF, p. 4 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités

Thèmes

échantillon, somme de variables aléatoires, moyenne empirique, espérance, variance, dés et pièces, modélisation

Notions

indépendance, espérance