ExerciceTerminale, chapitre 10 — Loi des grands nombres · Échantillon d'une variable aléatoire

Exercice 6

Calcul

La loi de la variable aléatoire $X$ est donnée par le tableau suivant :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_{i} & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(X = x_{i}) & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 \\ \hline \end{array}

1. Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité, puis calculer $E(X)$ et $V(X)$ .

2. On considère un échantillon de taille $25$ de la loi de $X$ . Calculer $E(M_{25})$ et l'écart-type de $M_{25}$ .

3. Même question pour un échantillon de taille $100$ .

Corrigé

1. La somme des probabilités vaut $0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}4 = 1$ , et toutes sont positives : $\boxed{\text{Il s'agit bien d'une loi de probabilité.}}$

E(X) = 1 \times 0{,}1 + 2 \times 0{,}2 + 3 \times 0{,}3 + 4 \times 0{,}4 = 0{,}1 + 0{,}4 + 0{,}9 + 1{,}6 = \boxed{3}

E(X^{2}) = 1 \times 0{,}1 + 4 \times 0{,}2 + 9 \times 0{,}3 + 16 \times 0{,}4 = 0{,}1 + 0{,}8 + 2{,}7 + 6{,}4 = 10

V(X) = 10 - 3^{2} = \boxed{1}

2. Pour $n = 25$ : $E(M_{25}) = \mu = \boxed{3} \qquad;\qquad V(M_{25}) = \frac{1}{25} = 0{,}04 \quad\text{donc}\quad \sigma(M_{25}) = \sqrt{0{,}04} = \boxed{0{,}2}$

3. On procède de la même manière pour $n = 100$ : $E(M_{100}) = \boxed{3} \qquad;\qquad V(M_{100}) = \frac{1}{100} = 0{,}01 \quad\text{donc}\quad \sigma(M_{100}) = \boxed{0{,}1}$

On multiplie $n$ par $4$ et l'écart-type est divisé par $2$ : c'est la règle établie à l'exercice 5.

Énoncé PDF, p. 2 Corrigé PDF, p. 3 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités

Thèmes

échantillon, moyenne empirique, espérance, variance

Notions

indépendance, espérance