Exercice 5

1. On a $V(M_{n}) = \dfrac{36}{n}$, et l'écart-type est la racine carrée de la variance : $$\boxed{\begin{array}{l} n = 9 \;:\; V(M_{9}) = 4 \text{ et } \sigma(M_{9}) = 2 \\[1mm] n = 36 \;:\; V(M_{36}) = 1 \text{ et } \sigma(M_{36}) = 1 \\[1mm] n = 144 \;:\; V(M_{144}) = 0{,}25 \text{ et } \sigma(M_{144}) = 0{,}5 \end{array}}$$

2. De façon générale : $$\sigma(M_{n}) = \sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Remplacer $n$ par $kn$ divise donc cet écart-type par $\sqrt{k}$. Pour obtenir une division par $3$, il faut $\sqrt{k} = 3$, c'est-à-dire : $$\boxed{\text{Il faut multiplier } n \text{ par } 9.}$$ On le vérifie sur la question 1 : en passant de $n = 4$ à $n = 36$, l'écart-type passerait de $3$ à $1$.

3. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $\sigma(M_{n}) \leqslant 0{,}1$, ce qui revient à $V(M_{n}) \leqslant 0{,}01$ : $$\frac{36}{n} \leqslant 0{,}01 \quad\Longleftrightarrow\quad n \geqslant \frac{36}{0{,}01} = 3\,600$$