ExerciceTerminale, chapitre 10 — Loi des grands nombres · Échantillon d'une variable aléatoire

Exercice 4

Calcul

Dans chaque cas, $(X_{1}\,;\dots\,;X_{n})$ est un échantillon de taille $n$ de la loi d'une variable aléatoire $X$ d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^{2}$ . Déterminer la quantité demandée.

1. $n = 30$ et $E(S_{30}) = 210$ : déterminer $\mu$ .

2. $n = 12$ et $V(S_{12}) = 48$ : déterminer $\sigma^{2}$ .

3. $\sigma^{2} = 20$ et $V(M_{n}) = 0{,}05$ : déterminer $n$ .

4. $\sigma = 4$ et l'écart-type de $M_{n}$ vaut $0{,}2$ : déterminer $n$ .

Corrigé

1. On part de $E(S_{n}) = n\mu$ : $30\mu = 210 \quad\Longleftrightarrow\quad \mu = \frac{210}{30} = \boxed{7}$

2. On part de $V(S_{n}) = n\sigma^{2}$ : $12\sigma^{2} = 48 \quad\Longleftrightarrow\quad \sigma^{2} = \frac{48}{12} = \boxed{4}$

3. On part de $V(M_{n}) = \dfrac{\sigma^{2}}{n}$ : $\frac{20}{n} = 0{,}05 \quad\Longleftrightarrow\quad n = \frac{20}{0{,}05} = \boxed{400}$

4. L'écart-type de $M_{n}$ vaut $0{,}2$ , donc sa variance vaut $0{,}2^{2} = 0{,}04$ . Comme $\sigma = 4$ , on a $\sigma^{2} = 16$ : $\frac{16}{n} = 0{,}04 \quad\Longleftrightarrow\quad n = \frac{16}{0{,}04} = \boxed{400}$

Piège : la proposition 1 porte sur la variance de $M_{n}$ , pas sur son écart-type. Il faut donc élever $0{,}2$ au carré avant d'utiliser la formule.

Énoncé PDF, p. 1 Corrigé PDF, p. 3 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités

Thèmes

échantillon, somme de variables aléatoires, moyenne empirique, espérance, variance

Notions

indépendance, espérance