Exercice 3

1. Les tirages sont effectués avec remise : la composition de l'urne est la même à chaque tirage, donc les variables $X_{1}$, …, $X_{50}$ sont indépendantes et suivent toutes la même loi. Chacune ne prend que les valeurs $0$ et $1$, avec $P(X_{i} = 1) = 0{,}3$. $$\boxed{\text{Il s'agit bien d'un échantillon de taille } 50 \text{ de la loi de Bernoulli de paramètre } 0{,}3.}$$

2. Pour une loi de Bernoulli de paramètre $p$ : $$E(X_{1}) = p = \boxed{0{,}3} \qquad\text{et}\qquad V(X_{1}) = p(1-p) = 0{,}3 \times 0{,}7 = \boxed{0{,}21}$$

3. On applique la proposition 1 : $$E(S_{50}) = 50 \times 0{,}3 = 15 \quad;\quad V(S_{50}) = 50 \times 0{,}21 = 10{,}5$$

4. La variable $S_{50}$ compte le nombre de succès lors de $50$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes : $$\boxed{S_{50} \text{ suit la loi binomiale } \mathcal{B}(50\,;0{,}3).}$$ Les formules du chapitre 2 donnent $E(S_{50}) = np = 15$ et $V(S_{50}) = np(1-p) = 10{,}5$ : on retrouve bien les valeurs de la question 3.

5. On a $M_{50} = \dfrac{S_{50}}{50}$, quotient du nombre de boules rouges obtenues par le nombre de tirages. $$\boxed{M_{50} \text{ est la fréquence de boules rouges observée sur les } 50 \text{ tirages.}}$$