ExerciceTerminale, chapitre 10 — Loi des grands nombres · Échantillon d'une variable aléatoire

Exercice 2

Calcul

On lance un dé équilibré à six faces et on note $X$ le numéro obtenu.

1. Déterminer $E(X)$ puis $V(X)$ sous forme de fraction irréductible.

2. On effectue $12$ lancers. Calculer $E(S_{12})$ , $V(S_{12})$ , $E(M_{12})$ et $V(M_{12})$ .

3. Reprendre la question précédente pour $1000$ lancers, en arrondissant $V(M_{1000})$ à $10^{-4}$ .

Corrigé

1. La variable $X$ prend les valeurs $1$ , $2$ , …, $6$ , chacune avec la probabilité $\dfrac{1}{6}$ . Donc : $E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \boxed{\dfrac{7}{2} = 3{,}5}$ Pour la variance, on passe par $E(X^{2})$ : $E(X^{2}) = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$

V(X) = E(X^{2}) - \big(E(X)\big)^{2} = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \boxed{\dfrac{35}{12}}

Piège : on n'oublie pas d'élever $E(X)$ au carré. Écrire $V(X) = \frac{91}{6} - \frac{7}{2}$ est l'erreur la plus fréquente.

2. Les $12$ lancers forment un échantillon de taille $12$ de la loi de $X$ : $E(S_{12}) = 12 \times \frac{7}{2} = 42 \quad;\quad V(S_{12}) = 12 \times \frac{35}{12} = 35$

E(M_{12}) = \frac{7}{2} \quad;\quad V(M_{12}) = \frac{35/12}{12} = \frac{35}{144}

\boxed{\begin{array}{l} E(S_{12}) = 42 \quad;\quad V(S_{12}) = 35 \\[1mm] E(M_{12}) = 3{,}5 \quad;\quad V(M_{12}) = \dfrac{35}{144} \end{array}}

3. On procède de la même manière avec $n = 1000$ : $E(S_{1000}) = 3\,500 \quad;\quad V(S_{1000}) = 1000 \times \frac{35}{12} = \frac{8\,750}{3} \approx 2\,916{,}67$

V(M_{1000}) = \frac{35}{12 \times 1000} = \frac{7}{2\,400} \approx 0{,}0029

\boxed{\begin{array}{l} E(S_{1000}) = 3\,500 \quad;\quad V(S_{1000}) \approx 2\,916{,}67 \\[1mm] E(M_{1000}) = 3{,}5 \quad;\quad V(M_{1000}) \approx 0{,}0029 \end{array}}

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Dans l'édifice

Espérance, variance et inégalités

Thèmes

somme de variables aléatoires, moyenne empirique, espérance, variance, dés et pièces

Notions

espérance