Exercice 1

On applique la proposition 1 du cours, avec $\mu = 12$ et $\sigma^{2} = 9$ : $$E(S_{n}) = n\mu \quad;\quad V(S_{n}) = n\sigma^{2} \quad;\quad E(M_{n}) = \mu \quad;\quad V(M_{n}) = \frac{\sigma^{2}}{n}$$

1. Pour $n = 4$ : $$E(S_{4}) = 4 \times 12 = 48 \quad;\quad V(S_{4}) = 4 \times 9 = 36 \quad;\quad E(M_{4}) = 12 \quad;\quad V(M_{4}) = \frac{9}{4} = 2{,}25$$

2. On procède de la même manière pour $n = 25$ : $$\boxed{\begin{array}{l} E(S_{25}) = 300 \quad;\quad V(S_{25}) = 225 \\[1mm] E(M_{25}) = 12 \quad;\quad V(M_{25}) = \dfrac{9}{25} = 0{,}36 \end{array}}$$

3. Pour $n = 100$ : $$\boxed{\begin{array}{l} E(S_{100}) = 1\,200 \quad;\quad V(S_{100}) = 900 \\[1mm] E(M_{100}) = 12 \quad;\quad V(M_{100}) = 0{,}09 \end{array}}$$

4. Pour $n = 900$ : $$\boxed{\begin{array}{l} E(S_{900}) = 10\,800 \quad;\quad V(S_{900}) = 8\,100 \\[1mm] E(M_{900}) = 12 \quad;\quad V(M_{900}) = 0{,}01 \end{array}}$$

On remarque que l'espérance de $M_{n}$ ne dépend pas de $n$, alors que sa variance est divisée par $n$ : c'est exactement ce que dit la remarque du cours, « augmenter la taille de l'échantillon ne déplace pas la cible, cela réduit la dispersion des tirs ».