Exercice 37

1. Par linéarité de l'espérance : $\boxed{E(S_{n})=n\,E(X)}$.

2. Les $X_{i}$ étant indépendantes et de même loi, $V(S_{n})=n\,V(X)$. La formule $V(S_{n})=E\big(S_{n}^{2}\big)-E(S_{n})^{2}$ donne alors $$E\big(S_{n}^{2}\big)=n\,V(X)+n^{2}E(X)^{2}=n\Big(E\big(X^{2}\big)-E(X)^{2}\Big)+n^{2}E(X)^{2}$$

3. Si $E(X)=0$, alors $E\big(S_{n}^{2}\big)=n\,E\big(X^{2}\big)$. La variable $S_{n}^{2}$ est positive, et, comme $a\sqrt{n}>0$, les événements $\big(|S_{n}|\geqslant a\sqrt{n}\big)$ et $\big(S_{n}^{2}\geqslant a^{2}n\big)$ sont identiques. L'inégalité de Markov donne : $$P\big(|S_{n}|\geqslant a\sqrt{n}\big)=P\big(S_{n}^{2}\geqslant a^{2}n\big)\leqslant \frac{E\big(S_{n}^{2}\big)}{a^{2}n}=\boxed{\frac{E\big(X^{2}\big)}{a^{2}}}$$

4. La variable $Y=X-E(X)$ est d'espérance nulle et vérifie $E\big(Y^{2}\big)=V(X)$. Les variables $Y_{i}=X_{i}-E(X)$ forment un échantillon de la loi de $Y$, dont la somme vaut $S_{n}-nE(X)$. La question 3, appliquée à $Y$, donne : $$\boxed{P\big(|S_{n}-nE(X)|\geqslant a\sqrt{n}\big)\leqslant\frac{V(X)}{a^{2}}}$$

Interprétation : c'est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à $S_{n}$, mais lue autrement. L'écart typique de $S_{n}$ à $nE(X)$ est de l'ordre de $\sqrt{n}$, et non de $n$ : après $10\,000$ lancers d'une pièce, le nombre de « pile » s'écarte de $5\,000$ d'environ $\sqrt{10\,000}=100$, à un facteur près. Divisé par $n$, cet écart devient $\frac{1}{\sqrt{n}}$, qui tend vers $0$ : on retrouve la loi faible des grands nombres.