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CCINP PC 2013 — Mathématiques

Vecteurs propres communs à deux matrices · 8 pages

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Le problème cherche des conditions pour que deux matrices $A$ et $B$ admettent un vecteur propre commun : la condition nécessaire $\operatorname{rg}(AB - BA) < n$ , et des conditions suffisantes ( $A$ et $B$ commutent, ou plus généralement le commutateur est de rang au plus 1, par récurrence sur la dimension). Il traite un exemple en dimension 3 et l'exemple de la dérivation et du « retournement » sur les polynômes de degré au plus $2n$ , puis montre que toute matrice complexe d'ordre $n \geqslant 2$ admet un vecteur propre sous « forme normale » à l'aide de matrices antisymétriques.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Étude dans un cas particulier p. 2–3

Diagonalisation · Réduction des endomorphismes · Calcul matriciel — vecteur propre commun, commutateur, spectre, sous-espace propre, matrices semblables, rang

Partie II — Condition nécessaire et conditions suffisantes p. 3–4

Sous-espaces stables · Réduction des endomorphismes · Applications linéaires et rang — vecteur propre commun, commutateur de rang 1, endomorphismes qui commutent, sous-espace stable, récurrence sur la dimension

Partie III — Étude d'un autre cas particulier p. 4–5

Nilpotents, Jordan, Dunford · Réduction des endomorphismes · Polynômes · Calcul matriciel — opérateur de dérivation, endomorphisme nilpotent, vecteur propre commun, polynôme réciproque, commutateur

Partie IV — Forme normale pour un vecteur propre p. 5–6

Réduction des endomorphismes · Polynômes d'endomorphismes · Matrices remarquables · Sous-espaces stables — matrices antisymétriques, endomorphismes qui commutent, vecteur propre commun, polynôme annulateur, vecteur propre sous forme normale

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Applications linéaires Théorème du rang Anneaux de polynômes