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Centrale-Supélec PSI 2019 — Maths 2

Réduction des matrices nilpotentes et partitions d'entiers · 4 pages

Le sujet réduit d'abord les endomorphismes nilpotents d'indice 2 et caractérise les matrices nilpotentes par leurs valeurs propres, leur polynôme caractéristique $X^n$ et leurs polynômes annulateurs, puis étudie l'existence de racines carrées de matrices nilpotentes (aucune si $2p - 1 > n$ ). Il démontre ensuite que tout nilpotent est semblable à une matrice $\operatorname{diag}(J_{\alpha_1}, \dots, J_{\alpha_k})$ de blocs de Jordan, la partition $(\alpha_1, \dots, \alpha_k)$ de $n$ étant déterminée par les rangs des puissances, ce qui met les classes de similitude des nilpotents en bijection avec les partitions de $n$ . Il en déduit que $M$ , $2M$ et $M^\top$ sont semblables pour $M$ nilpotente et termine par un algorithme récursif de calcul du nombre de partitions, programmé en Python.

Le sujet, partie par partie

Notations et Parties I.A, I.B — Réduction des nilpotents d'indice 2 p. 1–2

Nilpotents, Jordan, Dunford · Applications linéaires et rang · Matrices par blocs — indice de nilpotence, noyau et image, famille libre $u^k(x)$ , base adaptée, matrice de trace et déterminant nuls

Partie I.C — Valeurs propres, polynôme caractéristique, polynômes annulateurs d'une matrice nilpotente p. 2

Nilpotents, Jordan, Dunford · Trigonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Diagonalisation — polynôme caractéristique $X^n$ , polynôme annulateur, matrice triangulaire stricte, polynôme minimal, valeur propre nulle

Partie I.D — Racines carrées de matrices nilpotentes p. 2–3

Nilpotents, Jordan, Dunford · Sous-espaces stables · Calcul matriciel — racine carrée de matrice, équation $R^2 = V$ , sous-espaces stables, matrices semblables, blocs de Jordan

Partie II.A — Réduction des matrices nilpotentes p. 3

Nilpotents, Jordan, Dunford · Sous-espaces stables · Endomorphismes cycliques et matrice compagnon · Matrices par blocs — sous-espace cyclique, réduction de Jordan, endomorphisme induit, somme directe, récurrence sur l'indice

Partie II.B — Partitions d'entiers p. 3

Nilpotents, Jordan, Dunford · Partitions et nombres combinatoires · Applications linéaires et rang — partition d'un entier, blocs de Jordan, rang des puissances, invariants de similitude, classes de similitude des nilpotents

Partie II.C — Applications p. 4

Nilpotents, Jordan, Dunford · Calcul matriciel — matrices semblables, transposée, similitude de $M$ et $2M$ , réduction de Jordan

Partie II.D — Un algorithme de calcul du nombre de partitions de $n$ p. 4

Partitions et nombres combinatoires · Informatique et algorithmique — nombre de partitions, relation de récurrence, fonction Python, tableau de valeurs

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Théorème du rang Anneaux de polynômes Déterminant d'un endomorphisme Ensembles finis et principe des tiroirs Théorème de définition par récurrence