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e3a-Polytech MP 2019 — Maths 2

Identités de Newton et méthode de Le Verrier-Faddeev · 5 pages

Pour une matrice $A$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ ayant $n$ valeurs propres distinctes, le sujet relie les traces des puissances de $A$ aux sommes de Newton $S_k = \sum \lambda_i^k$ , puis démontre les identités de Newton exprimant les sommes $T_k$ des puissances des racines d'un polynôme à partir de ses coefficients. Il en déduit que les coefficients du polynôme caractéristique sont l'unique solution d'un système triangulaire, puis justifie l'algorithme de Le Verrier-Faddeev ( $B_k = B_{k-1}A + d_k I_n$ , $d_k = -\operatorname{tr}(B_{k-1}A)/k$ ) qui fournit à la fois le polynôme caractéristique et l'inverse de $A$ comme polynôme en $A$ , avec une application numérique pour $n = 4$ et une programmation en Python.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Trace d'une matrice p. 2

Calcul matriciel · Diagonalisation — trace, forme linéaire, matrices semblables, valeurs propres distinctes, trace des puissances

Partie II — Sommes de Newton des racines d'un polynôme p. 2–3

Racines et relations coefficients-racines · Suites récurrentes linéaires · Polynômes — identités de Newton, sommes de Newton, dérivée d'un polynôme scindé, relation de récurrence, factorisation de $X^m - a^m$

Partie III — Système triangulaire des coefficients du polynôme caractéristique p. 3

Racines et relations coefficients-racines · Calcul matriciel · Diagonalisation · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton — système linéaire triangulaire, relations coefficients-racines, polynôme caractéristique, sommes de Newton

Partie IV — Méthode de Le Verrier-Faddeev et programmation p. 3–4

Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Polynômes d'endomorphismes · Informatique et algorithmique · Analyse numérique · Calcul matriciel — algorithme de Le Verrier, Faddeev, inverse comme polynôme en $A$ , polynôme annulateur, produit matriciel en Python, trace

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Anneaux de polynômes Suites réelles et limites Déterminant d'un endomorphisme Applications linéaires Théorème de définition par récurrence Théorème du point fixe de Banach