Algèbre de Lie d'un sous-groupe fermé

(i) Pour une matrice $X$, $e^X = I + X + \frac{X^2}2 + R(X)$ avec $|||R(X)||| \leqslant |||X|||^3e^{|||X|||}$. En développant, $e^{A/k}e^{B/k} = I + \frac{A + B}k + O(k^{-2})$.

Pour le produit de quatre facteurs, posons $a = A/k$ et $b = B/k$. Les termes de degré $1$ de $e^ae^be^{-a}e^{-b}$ se compensent, et ceux de degré $2$, formés des carrés divisés par $2$ et des produits de deux termes de degré $1$ pris dans l'ordre des facteurs, sont $$\begin{aligned} &\frac{a^2 + b^2 + a^2 + b^2}2 + ab - a^2 - ab \\ &\quad - ba - b^2 + ab = ab - ba ; \end{aligned}$$ les autres sont $O(k^{-3})$. Il reste $I + \frac{[A, B]}{k^2} + O(k^{-3})$.

Pour $k$ grand, ces matrices sont dans le voisinage $W$ de $I$ (Exponentielle) ; posons $C_k = \log(e^{A/k}e^{B/k})$. Par le développement de $\log$, $kC_k = A + B + o(1)$, donc $$\begin{aligned} \big(e^{A/k}e^{B/k}\big)^k &= (e^{C_k})^k = e^{kC_k} \\ &\to e^{A+B} \end{aligned}$$ par continuité de $\exp$, l'égalité $(e^{C})^k = e^{kC}$ venant, par récurrence sur $k$, de $e^{(s+t)C} = e^{sC}e^{tC}$ (Systèmes linéaires, (ii)). De même, $k^2\log(\cdots) = [A, B] + o(1)$ pour le commutateur.

(ii) La stabilité par multiplication par un réel est claire. Si $A, B \in \mathfrak g$, les produits $\big(e^{tA/k}e^{tB/k}\big)^k$ sont dans $G$, et leur limite $e^{t(A+B)}$ aussi, puisque $G$ est fermé. De même pour $[A, B]$, en remplaçant $A$ par $tA$ dans la formule du commutateur, qui donne $e^{t[A,B]}$.

(iii) Par la formule de Liouville (Systèmes linéaires, (iii)), $\det e^{tA} = e^{t\operatorname{tr}A}$ vaut $1$ pour tout $t$ si et seulement si $\operatorname{tr}A = 0$. Si ${}^tA = -A$, alors ${}^t(e^{tA}) = e^{t\,{}^tA} = e^{-tA} = (e^{tA})^{-1}$ : $e^{tA} \in O(n)$. Réciproquement, en dérivant ${}^t(e^{tA})e^{tA} = I$ en $t = 0$, ${}^tA + A = 0$.