L'exponentielle, difféomorphisme local en 0

Munissons $\mathcal M_n$ d'une norme subordonnée. En développant le produit non commutatif, $$(A + H)^k - A^k - \sum_{j=0}^{k-1}A^jHA^{k-1-j}$$ est une somme de produits contenant au moins deux facteurs $H$, de norme au plus $(a + h)^k - a^k - ka^{k-1}h$, où $a = |||A|||$ et $h = |||H|||$.

En sommant avec les poids $1/k!$, $$\begin{aligned} &\Big|\Big|\Big|e^{A+H} - e^A \\ &\quad - \sum_k \frac1{k!}\sum_j A^jHA^{k-1-j}\Big|\Big|\Big| \\ &\leqslant e^{a+h} - e^a - he^a, \end{aligned}$$ qui est de la forme $h\,\varepsilon(h)$, par dérivabilité de l'exponentielle réelle.

Donc $\exp$ est différentiable, de différentielle $$H \mapsto \sum_k \frac1{k!}\sum_j A^jHA^{k-1-j},$$ qui dépend continûment de $A$, la série convergeant uniformément sur les parties bornées ; en $A = 0$, elle vaut $H$. Cela montre que $\exp$ est de classe $C^1$, avec $d\exp(0) = \mathrm{id}$.

Classe $C^\infty$. Identifions $\mathcal M_n(\mathbb R)$ à $\mathbb R^{n^2}$ par les coefficients $a_{rs}$. Pour $k \geqslant 1$, le coefficient d'indice $(i, j)$ de $A^k/k!$ est $$p_k(A) = \frac1{k!}\sum_{i_1, \dots, i_{k-1}} a_{ii_1}a_{i_1i_2}\cdots a_{i_{k-1}j},$$ somme de $n^{k-1}$ monômes de degré $k$ à coefficient $1$.

Dériver un monôme par rapport à une variable multiplie son coefficient par l'exposant de cette variable, au plus $k$, et abaisse son degré d'une unité ; après $m$ dérivations, il reste $0$ ou un monôme de degré $k - m$ de coefficient au plus $k^m$.

Sur le cube $\max_{r,s}|a_{rs}| \leqslant \rho$, toute dérivée partielle d'ordre $m$ de $p_k$ est donc majorée par $$c_k = \frac{n^{k-1}k^m\rho^{k-m}}{k!}$$ si $k \geqslant m$, et nulle si $k < m$.

Le rapport $$\frac{c_{k+1}}{c_k} = \frac{n\rho\,(1 + 1/k)^m}{k + 1}$$ tend vers $0$ ; il est inférieur à $\frac12$ à partir d'un rang $K$, d'où $c_k \leqslant c_K 2^{K-k}$ pour $k \geqslant K$, et $\sum c_k$ converge.

Le lemme Séries de polynômes montre que chaque coefficient de $e^A$, donc $\exp$, est de classe $C^\infty$.

On applique alors le théorème d'inversion locale (Inversion locale) avec $k = \infty$. Le développement de $\log$ exprime sa différentiabilité en $I$, de différentielle $d\exp(0)^{-1} = \mathrm{id}$.