Lemme 1Groupes de Lie

Séries de fonctions polynomiales indéfiniment dérivables

Sur ${\mathbb R^N}$ , on note $\|x\|_\infty = \max_i |x_i|$ . Pour une suite finie $J = (j_1, \dots, j_m)$ d'indices de $\{1, \dots, N\}$ , éventuellement vide, et une fonction $f$ dont les dérivées partielles successives existent, on note $\partial_J f = \partial_{j_1}(\partial_{j_2}(\cdots \partial_{j_m} f))$ , avec $\partial_\emptyset f = f$ .

Énoncé

Soit $(p_k)$ une suite de fonctions polynomiales de $\mathbb R^N$ dans ${\mathbb R}$ . On suppose que, pour tout $r > 0$ et toute suite finie d'indices $J$ , la série $\sum_k M_k(J, r)$ converge, où $M_k(J, r) = \sup_{\|x\|_\infty \leqslant r} |\partial_J p_k(x)|.$ Alors $f = \sum_k p_k$ est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb R^N$ , et $\partial_J f = \sum_k \partial_J p_k$ pour toute suite finie $J$ .

Démonstration

Une variable. Soit $(u_k)$ une suite de fonctions réelles de classe $C^1$ sur un segment $[a, b]$ , telle que $\sum u_k$ et $\sum u_k'$ convergent uniformément sur $[a, b]$ , de sommes $S$ et $g$ . Montrons que $S$ est dérivable, de dérivée $g$ .

La fonction $g$ est continue, comme limite uniforme de fonctions continues (Convergence uniforme, (i)). Pour $t \in [a, b]$ , on a $\sum_{k < K}\big(u_k(t) - u_k(a)\big) = \int_a^t \sum_{k < K} u_k'$ (même nœud, (iv)), et, en faisant tendre $K$ vers l'infini, $S(t) - S(a) = \int_a^t g$ (même nœud, (iii)).

Pour $t$ et $t + h$ dans $[a, b]$ , avec $h \neq 0$ , la relation de Chasles (Propriétés de l'intégrale, (v)) donne $\begin{aligned} &\frac{S(t + h) - S(t)}{h} - g(t) \\ &\quad = \frac1h\int_t^{t+h}\big(g - g(t)\big), \end{aligned}$ de valeur absolue au plus $\sup_{|v - t| \leqslant |h|} |g(v) - g(t)|$ (Inégalité de la moyenne, (i)), qui tend vers $0$ avec $h$ puisque $g$ est continue en $t$ .

Dérivées partielles. Disons qu'une fonction est admissible si elle s'écrit $\sum_k p_k$ avec $(p_k)$ comme dans l'énoncé.

Soit $f = \sum_k p_k$ admissible. Pour tout $r > 0$ , la série converge uniformément sur le cube $C_r = \{\|x\|_\infty \leqslant r\}$ , par le critère de Weierstrass (même nœud, (ii)) appliqué avec $J = \emptyset$ ; $f$ est donc continue sur l'intérieur de chaque $C_r$ , c'est-à-dire sur $\mathbb R^N$ .

Soit $x \in \mathbb R^N$ , $j \in \{1, \dots, N\}$ , $r = \|x\|_\infty + 1$ , et $u_k(t) = p_k(x + te_j)$ pour $t \in [-1, 1]$ . Ce sont des polynômes en $t$ , de dérivées $u_k'(t) = \partial_j p_k(x + te_j)$ , et $x + te_j \in C_r$ : on a $|u_k| \leqslant M_k(\emptyset, r)$ et $|u_k'| \leqslant M_k((j), r)$ , de sorte que les deux séries convergent uniformément sur $[-1, 1]$ .

Le premier pas montre que $t \mapsto f(x + te_j)$ est dérivable en $0$ , c'est-à-dire que $\partial_j f(x)$ existe, et que $\partial_j f(x) = \sum_k \partial_j p_k(x)$ . Enfin, la suite $(\partial_j p_k)$ vérifie encore l'hypothèse, puisque $\partial_J(\partial_j p_k) = \partial_{(J, j)} p_k$ : $\partial_j f$ est admissible.

Conclusion. Montrons par récurrence sur $m$ que toute fonction admissible est de classe $C^m$ . Pour $m = 0$ , c'est la continuité.

Si c'est vrai au rang $m$ , une fonction admissible $f$ a des dérivées partielles admissibles, donc continues : elle est de classe $C^1$ (Classe Cᵏ, (i)), et $df$ , dont les composantes dans les bases canoniques sont les $\partial_j f$ , est de classe $C^m$ par l'hypothèse de récurrence (même nœud, (ii)) ; $f$ est donc de classe $C^{m+1}$ .

La formule $\partial_J f = \sum_k \partial_J p_k$ s'obtient en itérant le deuxième pas.

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Remarque

L'hypothèse porte sur toutes les dérivées, et pas seulement sur la série elle-même. Un exemple le montre : la série $f(t) = \sum_{k \geqslant 1} \frac{t^k}{k^2}$ converge uniformément sur $[-1, 1]$ , mais sa somme $f$ n'est pas dérivable à gauche en $1$ .

Sur $]{-1}, 1[$ , elle est dérivable, de dérivée $f'(t) = \sum_{k \geqslant 1} \frac{t^{k-1}}{k},$ par le premier pas de la preuve appliqué sur les segments $[-\rho, \rho]$ , avec $\rho < 1$ . Le lemme lui-même ne s'applique pas, la série divergeant hors de $[-1, 1]$ .

Soit $0 \leqslant t < 1$ . L'égalité des accroissements finis (Égalité des accroissements finis) donne un $c \in \,]t, 1[$ tel que $\frac{f(1) - f(t)}{1 - t} = f'(c)$ . Les termes étant positifs, on a, pour tout entier $K$ , $f'(c) \geqslant \sum_{k \leqslant K} \frac{c^{k-1}}{k} \geqslant \sum_{k \leqslant K} \frac{t^{k-1}}{k}.$

Quand $t \to 1$ , ce minorant tend vers $\sum_{k \leqslant K} \frac1k$ , aussi grand qu'on veut : le taux d'accroissement tend vers $+\infty$ .

Remarque

C'est l'analogue réel, à plusieurs variables, de la dérivation terme à terme des séries entières (Dérivation terme à terme). On ne peut pas simplement invoquer ce dernier énoncé : une série de polynômes de plusieurs variables n'est pas une série entière d'une variable, et la réorganiser en une telle série demanderait des sommations par paquets que le lemme évite.

Repose sur

Équations différentielles

Sert à

L'exponentielle, difféomorphisme local en 0