Aucun élément de G proche de I dans la direction d'un supplémentaire de g

Si $\mathfrak m = \{0\}$, il n'y a rien à démontrer ; supposons $\mathfrak m \neq \{0\}$.

Deux faits serviront. D'abord, $e^{mY} = (e^Y)^m$ pour toute matrice $Y$ et tout $m \in {\mathbb Z}$ : pour $m \geqslant 0$, par récurrence à partir de $e^{(s+t)Y} = e^{sY}e^{tY}$ (Systèmes linéaires, (ii)), et pour $m < 0$ parce que $e^{-Y}e^Y = e^0 = I$.

Ensuite, l'application $(u, Z) \mapsto e^{uZ}$, de $\mathbb R \times \mathcal M_n(\mathbb R)$ dans $GL_n(\mathbb R)$, est continue, comme composée de $(u, Z) \mapsto uZ$ et de l'exponentielle (Exponentielle).

Soit $K = \{Z \in \mathfrak m : |||Z||| = 1\}$. C'est une partie fermée et bornée de l'espace $\mathfrak m$, de dimension finie, donc compacte (Équivalence des normes, (ii) et (iv)).

Pour $Z \in K$ et $\delta > 0$, notons $B(Z, \delta) = \{Z' \in K : |||Z' - Z||| < \delta\}$, ouvert de $K$. Disons qu'une telle boule est bonne s'il existe $t > 0$ tel que $e^{uZ'} \notin G$ pour tout $Z' \in B(Z, \delta)$ et tout réel $u$ vérifiant $|u - t| \leqslant \delta$.

Tout point de $K$ est le centre d'une bonne boule. Soit $Z \in K$. Comme $Z \in \mathfrak m$, $Z \neq 0$ et $\mathfrak g \cap \mathfrak m = \{0\}$, $Z \notin \mathfrak g$ : il existe $t \in \mathbb R$ tel que $e^{tZ} \notin G$, et $t \neq 0$ puisque $e^0 = I \in G$. Comme $e^{-tZ} = (e^{tZ})^{-1}$ et que $G$ est un groupe, on peut supposer $t > 0$.

Le complémentaire de $G$ dans $GL_n(\mathbb R)$ est un ouvert qui contient $e^{tZ}$ ; par continuité de $(u, Z') \mapsto e^{uZ'}$ en $(t, Z)$, il existe $\eta > 0$ tel que $e^{uZ'} \notin G$ dès que $|u - t| < \eta$ et $|||Z' - Z||| < \eta$. La boule $B(Z, \eta/2)$ est bonne.

Conclusion. Les bonnes boules forment un recouvrement ouvert du compact $K$ ; il en existe un nombre fini, $B_1, \dots, B_q$, de rayons $\delta_1, \dots, \delta_q$, qui recouvrent $K$, et l'on associe à chacune un réel $t_i$ convenable. Posons $r = \min_i \delta_i > 0$.

Soit $Y \in \mathfrak m$ avec $0 < s = |||Y||| < r$ ; montrons que $e^Y \notin G$.

Le point $Z' = Y/s$ est dans $K$, donc dans une boule $B_i$. Soit $m$ le plus grand entier tel que $m \leqslant t_i/s$, et $u = ms$ : alors $t_i - s < u \leqslant t_i$, donc $|u - t_i| < s < \delta_i$, et $e^{uZ'} \notin G$.

Or $uZ' = mY$, et $e^{mY} = (e^Y)^m$ : si $e^Y$ était dans $G$, ce groupe contiendrait $e^{uZ'}$. Donc $e^Y \notin G$, ce qui démontre le lemme.