Théorème 4Groupes de Lie

Théorème de Cartan-von Neumann

Énoncé

Tout sous-groupe fermé $G$ de ${GL_n}({\mathbb R})$ est une sous-variété de ${\mathcal M_n}(\mathbb R)$ , de dimension $\dim {\mathfrak g}$ , donc un groupe de Lie, dont l'espace tangent en $I$ est $\mathfrak g$ . L'exponentielle induit un difféomorphisme d'un voisinage ouvert de $0$ dans $\mathfrak g$ sur un voisinage ouvert de $I$ dans $G$ .

Démonstration

Soit $d = \dim \mathfrak g$ , $N = n^2$ , $\mathfrak m$ un supplémentaire de $\mathfrak g$ , et $(E_1, \dots, E_N)$ une base de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ dont les $d$ premiers vecteurs forment une base de $\mathfrak g$ et les suivants une base de $\mathfrak m$ .

L'application $L(u) = \sum_i u_iE_i$ est un isomorphisme linéaire de $\mathbb R^N$ sur $\mathcal M_n(\mathbb R)$ . Pour $u = (x, y) \in \mathbb R^d \times \mathbb R^{N-d}$ , posons $X(u) = L(x, 0) \in \mathfrak g$ , $Y(u) = L(0, y) \in \mathfrak m$ et $\Psi(u) = e^{X(u)}e^{Y(u)}.$

Un difféomorphisme local. $\Psi$ est de classe $C^\infty$ , comme composée d'applications linéaires, de l'exponentielle (Exponentielle) et du produit des matrices, qui est bilinéaire (Classe Cᵏ, (ii) et (iii)).

Comme $d\exp(0) = \mathrm{id}$ et que la différentielle du produit en $(I, I)$ est $(H, H') \mapsto H + H'$ , on a $d\Psi(0)(v) = X(v) + Y(v) = L(v)$ (Différentielle, (iii) et (iv)) : $d\Psi(0) = L$ est inversible.

Par inversion locale (Inversion locale), il existe un ouvert $V_0$ de $\mathbb R^N$ contenant $0$ et un ouvert $W_0$ contenant $I$ tels que $\Psi$ soit un $C^\infty$ -difféomorphisme de $V_0$ sur $W_0$ .

Soit $r$ le réel fourni par le lemme Pas de petits éléments, $V = \{u \in V_0 : |||Y(u)||| < r\}$ , ouvert contenant $0$ , et $W = \Psi(V)$ , ouvert de $W_0$ , donc de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ , puisque $\Psi$ est un homéomorphisme de $V_0$ sur $W_0$ . On note $\Phi : W \to V$ la réciproque de $\Psi$ .

Redressement en $I$ . Montrons que $\Psi\big(V \cap (\mathbb R^d \times \{0\})\big) = W \cap G$ . Si $u = (x, 0) \in V$ , alors $\Psi(u) = e^{X(u)}$ est dans $G$ , puisque $X(u) \in \mathfrak g$ .

Réciproquement, soit $h \in W \cap G$ et $u = \Phi(h) \in V$ . Comme $e^{X(u)} \in G$ , $e^{Y(u)} = e^{-X(u)}h$ est dans $G$ , avec $Y(u) \in \mathfrak m$ et $|||Y(u)||| < r$ : le lemme donne $Y(u) = 0$ , donc $y = 0$ , $L$ étant injective. Ainsi $\Phi(W \cap G) = \Phi(W) \cap (\mathbb R^d \times \{0\})$ .

Redressement en tout point. Soit $a \in G$ , et $\lambda_a : M \mapsto aM$ , isomorphisme linéaire de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ , de réciproque $\lambda_{a^{-1}}$ . L'ouvert $U = \lambda_a(W)$ contient $a$ , et $\Phi_a = \Phi \circ \lambda_{a^{-1}}$ est un $C^\infty$ -difféomorphisme de $U$ sur $V$ .

Comme $G$ est un groupe, $h \in U \cap G$ équivaut à $a^{-1}h \in W \cap G$ : $U \cap G = \lambda_a(W \cap G)$ , d'où $\begin{aligned} \Phi_a(U \cap G) &= \Phi(W \cap G) \\ &= \Phi_a(U) \cap (\mathbb R^d \times \{0\}). \end{aligned}$ Donc $G$ est une sous-variété de dimension $d$ (Sous-variétés de ℝⁿ).

Groupe de Lie. $G$ est une variété (Exemples de variétés, (i)). Par le même nœud, (iii), $G \times G$ est une sous-variété de $\mathcal M_n(\mathbb R)^2 \cong \mathbb R^{2N}$ , dont la structure de variété est la structure produit.

Le produit $(M, M') \mapsto MM'$ est polynomial sur $\mathcal M_n(\mathbb R)^2$ , l'inversion est de classe $C^\infty$ sur l'ouvert $GL_n(\mathbb R)$ , qui contient $G$ (Groupe linéaire, (iii)), et ils envoient $G \times G$ , resp. $G$ , dans $G$ : leurs restrictions sont lisses (Applications lisses, (iv)), et $G$ est un groupe de Lie (Groupes de Lie).

Espace tangent. Par le nœud Tangent à une sous-variété, $T_IG = d\Phi(I)^{-1}(\mathbb R^d \times \{0\})$ . Comme $d\Phi(I) = d\Psi(0)^{-1} = L^{-1}$ (inversion locale), $T_IG = L(\mathbb R^d \times \{0\}) = \mathfrak g$ .

L'exponentielle. Soit $\Omega = \{x \in \mathbb R^d : (x, 0) \in V\}$ , ouvert de $\mathbb R^d$ .

L'application $x \mapsto e^{L(x, 0)}$ est la restriction de $\Psi$ à $\Omega \times \{0\}$ , bijection de $\Omega$ sur $W \cap G$ d'après le redressement en $I$ ; c'est la réciproque de la carte $p \circ \Phi$ de $G$ , où $p$ est la projection sur les $d$ premières coordonnées (Exemples de variétés, (i)), et une carte est un difféomorphisme sur son image (Applications lisses, (iii)).

Munissons $\mathfrak g$ de la structure de variété transportée de $\mathbb R^d$ par l'isomorphisme $x \mapsto L(x, 0)$ ; elle ne dépend pas de la base choisie, deux tels isomorphismes différant d'un automorphisme linéaire de $\mathbb R^d$ .

En transportant $\Omega$ par cet isomorphisme, l'exponentielle induit un difféomorphisme de l'ouvert $L(\Omega \times \{0\})$ de $\mathfrak g$ , qui contient $0$ , sur l'ouvert $W \cap G$ de $G$ , qui contient $I$ .

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Remarque

L'hypothèse de fermeture est nécessaire. Notons $R_t$ la rotation d'angle $t$ , de sorte que $R_s = R_t$ si et seulement si $e^{i(s - t)} = 1$ , c'est-à-dire $s - t \in 2\pi\mathbb Z$ (Le nombre π, (ii)).

Soit $T = \{(R_u, R_v) : u, v \in \mathbb R\}$ , matrices diagonales par blocs de ${GL_4}(\mathbb R)$ . C'est le tore $SO(2) \times SO(2)$ , puisqu'un élément de $SO(2)$ est une matrice $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ avec $a^2 + b^2 = 1$ (remarque du nœud Groupes de Lie), soit $a + ib = e^{iu}$ pour un réel $u$ (Le nombre π, (iii)).

C'est un sous-groupe compact, donc fermé, de $GL_4(\mathbb R)$ , image du compact $[0, 2\pi]^2$ par l'application continue $(u, v) \mapsto (R_u, R_v)$ , et un groupe topologique pour la topologie induite, les opérations de $GL_4(\mathbb R)$ restant continues par restriction.

Pour $\alpha$ irrationnel, le sous-groupe $H = \{(R_t, R_{\alpha t}) : t \in \mathbb R\}$ est dense dans $T$ , n'est pas fermé, et n'est pas une sous-variété de $\mathcal M_4(\mathbb R)$ .

Densité. Soit $K \geqslant 1$ un entier. Parmi les $K + 1$ parties fractionnaires de $0, \alpha, \dots, K\alpha$ , deux tombent dans le même intervalle $[\frac iK, \frac{i+1}K[$ (principe des tiroirs, Ensembles finis).

Leur différence s'écrit $\delta = j\alpha - p$ , avec $p$ entier et $1 \leqslant j \leqslant K$ , puisque les deux indices diffèrent, et vérifie $|\delta| < \frac1K$ , avec $\delta \neq 0$ puisque $\alpha$ est irrationnel.

Tout réel $x$ est à moins de $|\delta|$ du multiple $\lfloor x/\delta \rfloor\,\delta$ : le groupe $\mathbb Z + \alpha\mathbb Z$ est dense dans $\mathbb R$ .

Soit $(R_u, R_v) \in T$ et $c = \frac{v - \alpha u}{2\pi}$ ; choisissons des entiers $k$ et $q$ tels que $\varepsilon = k\alpha + q - c$ soit petit, et posons $t = u + 2\pi k$ . Alors $R_t = R_u$ , et $\alpha t + 2\pi q = v + 2\pi\varepsilon$ , donc $R_{\alpha t} = R_{v + 2\pi\varepsilon}$ , proche de $R_v$ par continuité de $s \mapsto R_s$ .

Non-fermeture. Si $(R_t, R_{\alpha t}) = (I, R_{\pi\alpha})$ , alors $t = 2\pi k$ et $\pi\alpha - 2\pi k\alpha \in 2\pi\mathbb Z$ , soit $\alpha(\frac12 - k) \in \mathbb Z$ avec $\frac12 - k \neq 0$ , ce qui rendrait $\alpha$ rationnel. Donc $H \neq T$ ; comme $H$ est dense et $T$ fermé, l'adhérence de $H$ est $T$ , et $H$ n'est pas fermé.

Pas une sous-variété. Supposons que $H$ soit une sous-variété de $\mathcal M_4(\mathbb R)$ (Sous-variétés de ℝⁿ). Un point $a \in H$ a alors un voisinage ouvert $U$ , un entier $d$ et un $C^\infty$ -difféomorphisme $\Phi_U$ de $U$ sur un ouvert tels que $\Phi_U(U \cap H) = \Phi_U(U) \cap (\mathbb R^d \times \{0\})$ ; ainsi $U \cap H$ , image réciproque par $\Phi_U$ d'un fermé de $\Phi_U(U)$ , est fermé dans $U$ .

Comme $U$ est ouvert, un point de $U$ adhérent à $H$ est adhérent à $U \cap H$ dans $U$ , donc lui appartient : $U \cap T = U \cap H$ , et $H$ contient un voisinage de $a$ dans $T$ .

Pour $h \in H$ , la translation $x \mapsto ha^{-1}x$ est un homéomorphisme de $T$ (Translations, voisinages de e) qui envoie $H$ sur $H$ et $a$ sur $h$ : $H$ contient un voisinage de chacun de ses points, il est ouvert dans $T$ , donc fermé (Sous-groupes, (iii)), ce qui vient d'être exclu.

Le tore est dessiné comme un carré dont on identifie les côtés opposés, le point

(R_t, R_{\alpha t})

ayant pour coordonnées les angles

t

\alpha t

modulo

2\pi

. Pour

\alpha = 2/3

, la courbe se referme après trois tours et le sous-groupe est fermé ; pour

\alpha = \sqrt 2

, douze tours montrent déjà qu'elle remplit peu à peu le carré sans jamais repasser par son point de départ.

C'est le phénomène de l'enroulement irrationnel, parent de la densité des multiples d'un irrationnel modulo $1$ .

La topologie induite par le tore sur ce sous-groupe n'est pas celle de $\mathbb R$ . Par la densité de $\mathbb Z + \alpha\mathbb Z$ , il existe, pour tout $\varepsilon \in \,]0, 1]$ , des entiers $k$ et $q$ tels que $0 < k\alpha + q < \varepsilon$ ; on a alors $k \neq 0$ , puisque $k = 0$ imposerait $0 < q < 1$ . Ces entiers $k$ ont une valeur absolue qui tend vers l'infini quand $\varepsilon \to 0$ , puisqu'un nombre fini d'entiers $k \neq 0$ laisserait $|k\alpha + q|$ , pour tout entier $q$ , à distance de $0$ . Pour ces $k$ , $(R_{2\pi k}, R_{2\pi k\alpha}) = (I, R_{2\pi k\alpha})$ tend vers $(I, I)$ , puisque $R_{2\pi k\alpha} = R_{2\pi(k\alpha + q)}$ , alors que $t = 2\pi k$ ne tend pas vers $0$ .

Remarque

Le théorème redonne le point (iii) du nœud Groupes de Lie sans calcul de différentielle : $O(n)$ est fermé, comme image réciproque de $\{I\}$ par l'application continue $A \mapsto {}^tAA$ , donc c'est une sous-variété, de dimension celle de son algèbre de Lie, l'espace des matrices antisymétriques, soit $\frac{n(n-1)}2$ (Algèbre de Lie, (iii)). Le calcul de $\mathfrak g$ suffit désormais à connaître la dimension d'un groupe de matrices fermé.

Repose sur

Aucun élément de G proche de I dans la direction d'un supplémentaire de g

Sert à

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