Exercice 1

1. L'égalité $3 + 4 = 8$ peut être qualifiée de vraie ou de fausse : c'est une proposition. Or $3 + 4 = 7$, donc : $$\boxed{\text{Proposition } \textbf{Fausse}}$$

2. L'écriture $x^{2} - 1$ ne peut être ni vraie ni fausse. $$\boxed{\text{Ce n'est pas une proposition, mais une expression.}}$$

3. Tout entier naturel est supérieur ou égal à $0$ : $$\boxed{\text{Proposition } \textbf{Vraie}}$$

4. Le cours démontre que $\sqrt{2}$ est irrationnel : $$\boxed{\text{Proposition } \textbf{Fausse}}$$

5. « Soit $n$ un entier naturel » introduit une notation ; on ne peut pas lui attribuer de valeur de vérité. $$\boxed{\text{Ce n'est pas une proposition.}}$$

6. L'énoncé $n^{2} \geqslant n$ dépend de $n$, qui n'est ici ni fixé ni quantifié : il est vrai pour $n = 2$, faux pour $n = \frac{1}{2}$. $$\boxed{\text{Ce n'est pas une proposition, mais un \emph{prédicat} : une proposition dépendant d'une variable.}}$$

7. Le quantificateur fixe désormais le statut de $n$. Pour $n = 0$ et $n = 1$ on a $n^{2} = n$ ; pour $n \geqslant 2$, on a $n^{2} = n \times n \geqslant n \times 1 = n$. $$\boxed{\text{Proposition } \textbf{Vraie}}$$

8. On procède de la même manière, mais sur $\mathbb{R}$. Pour $x = \dfrac{1}{2}$ : $$x^{2} = \frac{1}{4} < \frac{1}{2} = x$$

Piège : les énoncés 6 et 7 diffèrent d'un seul mot. C'est le quantificateur qui transforme un prédicat en proposition ; sans lui, la question « est-ce vrai ? » n'a pas de sens.