ExerciceMaths approfondies, chapitre 1 — Ensembles et logique · Propositions et connecteurs

Exercice 2

Calcul

Soient $A$ et $B$ deux propositions. Dresser la table de vérité de chacune des propositions suivantes.

1. $(\text{non } A) \text{ ou } B$

2. $\text{non}(A \text{ et } (\text{non } B))$

3. $(A \Rightarrow B) \text{ et } (B \Rightarrow A)$

4. $A \text{ et } (\text{non } A)$

5. Comparer les colonnes obtenues aux questions 1 et 2 avec celle de $A \Rightarrow B$ , puis celle de la question 3 avec celle de $A \Leftrightarrow B$ . Que peut-on en conclure ?

6. Que remarque-t-on à la question 4 ?

Corrigé

On dresse les tables demandées, en y ajoutant les colonnes de $A \Rightarrow B$ et de $A \Leftrightarrow B$ nécessaires aux comparaisons. Les deux premières propositions donnent :

\begin{array}{|c|c||c|c||c|c||c|} \hline A & B & \text{non } A & \text{non } B & (\text{non } A) \text{ ou } B & \text{non}(A \text{ et } \text{non } B) & A \Rightarrow B \\ \hline \text{V} & \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{V} \\ \hline \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{F} \\ \hline \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{V} \\ \hline \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} \\ \hline \end{array}

puis les deux dernières :

\begin{array}{|c|c||c|c|c||c||c|} \hline A & B & A \Rightarrow B & B \Rightarrow A & (A \Rightarrow B) \text{ et } (B \Rightarrow A) & A \Leftrightarrow B & A \text{ et } (\text{non } A) \\ \hline \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{F} \\ \hline \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{F} \\ \hline \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F} \\ \hline \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{F} \\ \hline \end{array}

5. Les colonnes des questions 1 et 2 sont identiques à celle de $A \Rightarrow B$ , et celle de la question 3 est identique à celle de $A \Leftrightarrow B$ : $\boxed{\begin{array}{l} (A \Rightarrow B) \;\Leftrightarrow\; \big((\text{non } A) \text{ ou } B\big) \;\Leftrightarrow\; \text{non}(A \text{ et } \text{non } B) \\[1mm] (A \Leftrightarrow B) \;\Leftrightarrow\; \big((A \Rightarrow B) \text{ et } (B \Rightarrow A)\big) \end{array}}$ La seconde équivalence justifie le schéma de rédaction en deux temps donné dans le cours.

6. La colonne de $A \text{ et } (\text{non } A)$ ne contient que des F : $\boxed{\text{Cette proposition est fausse quelles que soient les valeurs de vérité de } A.}$ Une proposition toujours fausse est appelée une contradiction ; une proposition toujours vraie, comme $A$ ou $(\text{non } A)$ , est appelée une tautologie.

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Connecteurs et tables de vérité

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propositions, connecteurs et tables de vérité, implication, équivalence

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