Feuille d'exercicesMaths approfondies, chapitre 1

Ensembles et logique

30 exercices corrigés · 13 13 3

Propositions et connecteurs

Exercice 1 Pour chacun des énoncés suivants, dire s'il s'agit d'une proposition. Le cas échéant, donner sa valeur de vérité en justifiant. 1. 3 + 4 = 8 2. x^2…
Exercice 2 Soient A et B deux propositions. Dresser la table de vérité de chacune des propositions suivantes. 1. (non A) ou B 2. non(A et (non B)) 3. (A ⇒ B)…
Exercice 3 Écrire la négation de chacune des propositions suivantes, en évitant toute formulation du type « il est faux que ». 1. x ≥ 0 et y < 1. 2. L'entier n…
Exercice 4 Soient A et B deux propositions. 1. Établir à l'aide d'une table de vérité l'équivalence (A ⇒ B) ⇔ ((non A) ou B). 2. En déduire, sans nouvelle…

Exercice 5 Pour chacune des implications suivantes, supposée vraie, compléter les deux phrases « … est une condition suffisante pour … » et « … est une…
Exercice 6 Pour chacune des implications suivantes, écrire la réciproque puis la contraposée. Dire ensuite si l'implication de départ est vraie, et si sa…
Exercice 7 Démontrer les équivalences suivantes en respectant le schéma de rédaction en deux temps du cours. 1. Soient x et y deux réels. Montrer que x^2 + y^2…

Exercice 8 Démontrer par contraposée les implications suivantes. 1. Soit n un entier relatif. Si n^2 est pair, alors n est pair. 2. Soient a et b deux réels.…
Exercice 9 On admet le résultat suivant: si 3 divise p^2, alors 3 divise p. 1. Démontrer par l'absurde que √3 est irrationnel, en reprenant la structure de la…
Exercice 10 Chacune des propositions suivantes est fausse. Le démontrer en exhibant un contre-exemple. 1. Tout entier naturel est la somme des carrés de deux…
Exercice 11 Le cours établit par contraposée le résultat suivant: si x est un réel positif tel que x ≤ ε pour tout réel ε > 0, alors x = 0. 1. Rédiger une…
Exercice 12 On rappelle qu'un réel est irrationnel lorsqu'il n'appartient pas à ℚ. 1. Montrer que la somme et le produit de deux rationnels sont rationnels. 2.…

Exercice 13 1. Décrire en extension les ensembles suivants: (a) x ∈ ℤ mid x^2 ≤ 9 (b) n ∈ ℕ mid n divise 12 (c) x ∈ ℝ mid x^2 = 2 (d) x ∈ ℚ mid x^2 = 2 2.…
Exercice 14 On pose E = 1; 2; 3; 1; 2. Pour chacun des objets ci-dessous, dire s'il appartient à E, s'il est inclus dans E, s'il vérifie les deux, ou aucune des…
Exercice 15 Donner la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes, en justifiant. 1. ∀ x ∈ ℝ, x^2 + 1 > 0 2. ∃ x ∈ ℝ, x^2 + 1 = 0 3. ∀ n ∈ ℕ, n ≥ 1…
Exercice 16 Écrire la négation de chacune des propositions suivantes, sous une forme où aucun « non » ne porte sur un quantificateur. 1. ∀ x ∈ ℝ, x^2 ≥ x 2. ∃ n…
Exercice 17 Soit f: ℝ → ℝ une application. Traduire à l'aide de quantificateurs les propositions suivantes, ainsi que leur négation. 1. f est majorée sur ℝ. 2.…
Exercice 18 Soient x et y des réels. 1. On note P(x;y) la proposition « x + y = 0 ». Donner la valeur de vérité de: (a) ∀ x ∈ ℝ, ∃ y ∈ ℝ, P(x;y) (b) ∃ y ∈ ℝ, ∀…

Exercice 19 On note M_k l'ensemble des multiples de k dans ℤ. 1. Justifier les inclusions M_12 ⊂ M_6, M_12 ⊂ M_4 et M_6 ⊂ M_3. 2. A-t-on M_6 ⊂ M_4 ? Et M_4 ⊂…
Exercice 20 Démontrer les égalités d'ensembles suivantes par double inclusion, en respectant le schéma de rédaction du cours. 1. x ∈ ℝ mid |x - 1| ≤ 2 = [-1;3]…

Exercice 21 On pose E = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8, puis A = 1; 2; 3; 4, B = 3; 4; 5; 6 et C = 2; 4; 6; 8. Les complémentaires sont pris dans E. 1. Déterminer A ∩…
Exercice 22 Dans chacun des quatre diagrammes ci-dessous, A et B sont deux parties d'un ensemble E. Donner, pour chaque zone coloriée, une expression à l'aide…
Exercice 23 On considère le diagramme ci-dessous, où A, B et C sont trois parties d'un ensemble E, et où a, b, c, d, e, f, g et h sont des éléments de E. Les…
Exercice 24 Soient F, G et H trois parties d'un ensemble E, les complémentaires étant pris dans E. 1. Le cours démontre l'égalité overline F ∪ G = overline F ∩…
Exercice 25 Soient A et B deux parties d'un ensemble E. Démontrer que les quatre propositions suivantes sont équivalentes: (i) A ⊂ B (ii) A ∩ B = A (iii) A ∪ B…

Exercice 26 1. Soient A, B et C trois ensembles tels que A ∪ B = B ∩ C. Montrer que: A ⊂ B ⊂ C 2. Soient A, B et C trois ensembles. Montrer que: (A ∪ B ⊂ A ∪ C…
Exercice 27 On pose E = a; b; c; d. 1. Écrire P(E) en rangeant ses éléments par nombre d'éléments croissant, et vérifier le résultat annoncé dans le cours pour…
Exercice 28 On pose E = 1; 2; 3 et F = a; b. 1. Écrire E × F puis F × E en extension. Ces deux ensembles ont-ils le même nombre d'éléments ? Sont-ils égaux ? 2.…

Exercice 29 · Vrai ou faux Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Dans tout l'exercice, A et B désignent des propositions, et E,…
Exercice 30 Soient A et B deux parties d'un ensemble E. On appelle différence symétrique de A et B l'ensemble: A Δ B = (A setminus B) ∪ (B setminus A) 1. Sur…