Exercice 20

1. Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $|x-1| \leqslant 2$. Alors $-2 \leqslant x - 1 \leqslant 2$, d'où $-1 \leqslant x \leqslant 3$ : donc $x \in [-1\;;3]$.

Réciproquement, soit $x \in [-1\;;3]$. Alors $-1 \leqslant x \leqslant 3$, d'où $-2 \leqslant x-1 \leqslant 2$, c'est-à-dire $|x-1| \leqslant 2$. $$\boxed{\{x \in \mathbb{R} \mid |x-1| \leqslant 2\} = [-1\;;3]}$$

2. Soit $n \in \mathbb{Z}$ tel que $n^{2} \leqslant 4$. Si $|n| \geqslant 3$, alors $n^{2} \geqslant 9 > 4$ : on a donc $|n| \leqslant 2$, c'est-à-dire $n \in \{-2 \;;\; -1 \;;\; 0 \;;\; 1 \;;\; 2\}$.

Réciproquement, chacun de ces cinq entiers vérifie $n^{2} \leqslant 4$, les carrés valant respectivement $4$, $1$, $0$, $1$ et $4$. $$\boxed{\{n \in \mathbb{Z} \mid n^{2} \leqslant 4\} = \{-2 \;;\; -1 \;;\; 0 \;;\; 1 \;;\; 2\}}$$

3. On factorise : $x^{2} - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.

Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $(x-1)(x-2) \leqslant 0$. Si $x < 1$, alors $x - 1 < 0$ et $x - 2 < 0$, donc le produit est strictement positif. Si $x > 2$, les deux facteurs sont strictement positifs et le produit l'est aussi. Ces deux cas étant exclus, on a $1 \leqslant x \leqslant 2$.

Réciproquement, si $1 \leqslant x \leqslant 2$, alors $x - 1 \geqslant 0$ et $x - 2 \leqslant 0$, donc le produit est négatif. $$\boxed{\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2} - 3x + 2 \leqslant 0\} = [1\;;2]}$$