Exercice 19

1. Soit $n \in \mathcal{M}_{12}$ : il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $n = 12k$. Alors $n = 6 \times (2k)$ et $n = 4 \times (3k)$, avec $2k$ et $3k$ entiers. De même, si $n = 6k$, alors $n = 3 \times (2k)$. $$\boxed{\mathcal{M}_{12} \subset \mathcal{M}_{6} \quad;\quad \mathcal{M}_{12} \subset \mathcal{M}_{4} \quad;\quad \mathcal{M}_{6} \subset \mathcal{M}_{3}}$$

2. On exhibe un contre-exemple dans chaque sens : $6 \in \mathcal{M}_{6}$ mais $6 \notin \mathcal{M}_{4}$, et $4 \in \mathcal{M}_{4}$ mais $4 \notin \mathcal{M}_{6}$. $$\boxed{\text{Aucune des deux inclusions n'est vraie.}}$$

3. Supposons $\mathcal{M}_{k} \subset \mathcal{M}_{\ell}$. Comme $k = k \times 1 \in \mathcal{M}_{k}$, on a $k \in \mathcal{M}_{\ell}$, donc $\ell$ divise $k$. Réciproquement, si $k = \ell m$ avec $m \in \mathbb{Z}$, alors tout $n = kq$ s'écrit $n = \ell(mq)$, donc $n \in \mathcal{M}_{\ell}$. $$\boxed{\mathcal{M}_{k} \subset \mathcal{M}_{\ell} \;\Longleftrightarrow\; \ell \text{ divise } k}$$ On notera l'inversion : plus $k$ est grand au sens de la divisibilité, plus $\mathcal{M}_{k}$ est petit.

4. (a) $\boxed{\textbf{Vraie}}$ : tout entier naturel est un entier relatif, tout entier relatif $n$ s'écrit $\frac{n}{1}$, et tout rationnel est un réel.

(b) $\boxed{\textbf{Vraie}}$ : si $0 \leqslant x \leqslant 1$, alors $0 \leqslant x \leqslant 2$.

(c) $\boxed{\textbf{Vraie}}$ : l'unique élément de $\{0\}$ est $0$, qui appartient à $\mathbb{N}$.

(d) $\boxed{\textbf{Fausse}}$ : $0$ est un élément et non un ensemble ; il faut écrire $0 \in \mathbb{N}$.